considere a transformação T:R2→R2T:R2→R2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y), cujos autovalores da matriz de transformação [T][T] são λ1=1 e λ2=−2.λ1=1 e λ2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T][T]:

Dada a transformação linear \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x, y) = (-3x + 4y, -x + 2y) \), e sabendo que os autovalores da matriz de transformação \( [T] \) são \( \lambda_1 = 1 \) e \( \lambda_2 = -2 \), devemos encontrar os autovetores associados a esses autovalores para determinar a base de autovetores da matriz de transformação.

### 1. Matriz de Transformação

A matriz de transformação \( [T] \) associada à transformação \( T(x, y) = (-3x + 4y, -x + 2y) \) é:

\[
[T] = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
\]

### 2. Cálculo dos Autovetores

#### Autovalor \( \lambda_1 = 1 \)

Para encontrar o autovetor associado a \( \lambda_1 = 1 \), resolvemos a equação:

\[
([T] - \lambda_1 I)\mathbf{v} = 0
\]

Onde \( I \) é a matriz identidade. Então, temos:

\[
\left(\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)\mathbf{v} = 0
\]

\[
\begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

A equação matricial acima se traduz no sistema de equações lineares:

\[
\begin{cases}
-4v_1 + 4v_2 = 0 \\
-v_1 + v_2 = 0
\end{cases}
\]

A segunda equação implica que \( v_1 = v_2 \). Logo, um autovetor associado a \( \lambda_1 = 1 \) é:

\[
\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

#### Autovalor \( \lambda_2 = -2 \)

Para o autovalor \( \lambda_2 = -2 \), fazemos o mesmo procedimento:

\[
([T] - \lambda_2 I)\mathbf{v} = 0
\]

\[
\left(\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\right)\mathbf{v} = 0
\]

\[
\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

O sistema de equações lineares é:

\[
\begin{cases}
-v_1 + 4v_2 = 0 \\
v_1 + 4v_2 = 0
\end{cases}
\]

A primeira equação implica que \( v_1 = 4v_2 \). Portanto, um autovetor associado a \( \lambda_2 = -2 \) é:

\[
\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

### 3. Base de Autovetores

A base de autovetores da matriz de transformação \( [T] \) é dada pelos vetores \( \mathbf{v_1} \) e \( \mathbf{v_2} \), ou seja:

\[
\text{Base de autovetores: } \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}
\]

---

Você quer mais detalhes ou tem alguma dúvida? Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como determinar se uma matriz é diagonalizável usando autovalores e autovetores?
2. O que significa a multiplicidade algébrica e geométrica de um autovalor?
3. Como aplicar a transformação linear \( T \) a um vetor arbitrário em \( \mathbb{R}^2 \)?
4. Qual a relação entre autovalores e a inversibilidade de uma matriz?
5. Como usar autovetores para simplificar o cálculo de potências de matrizes?

**Dica:** Os autovetores de uma matriz associada a diferentes autovalores são sempre linearmente independentes.

Explore how to find eigenvalues and eigenvectors for the linear transformation T(x, y) = (-3x + 4y, -x + 2y) with matrix [T] given eigenvalues λ1 = 1 and λ2 = -2. Learn the step-by-step process and understand the significance of eigenvalues and eigenvectors in linear algebra.

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