Halle la primera derivada de las siguientes funciones aplique teoremas especiales
(productos y cocientes)𝑦 = (5𝑥2 − 7)(3𝑥2 − 2𝑥 + 1)


Para hallar la primera derivada de la función \( y = (5x^2 - 7)(3x^2 - 2x + 1) \), aplicamos la **regla del producto**. La regla del producto establece que, si tenemos dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), entonces la derivada de su producto es:

\[
\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]

Aquí, tenemos:
- \( u(x) = 5x^2 - 7 \)
- \( v(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)

### Paso 1: Derivamos \( u(x) \) y \( v(x) \).

- La derivada de \( u(x) = 5x^2 - 7 \) es:
  \[
  u'(x) = 10x
  \]

- La derivada de \( v(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) es:
  \[
  v'(x) = 6x - 2
  \]

### Paso 2: Aplicamos la regla del producto.

Sustituimos en la fórmula:

\[
\frac{d}{dx} \left[ (5x^2 - 7)(3x^2 - 2x + 1) \right] = (10x)(3x^2 - 2x + 1) + (5x^2 - 7)(6x - 2)
\]

### Paso 3: Simplificamos cada término.

Primero multiplicamos:

\[
(10x)(3x^2 - 2x + 1) = 30x^3 - 20x^2 + 10x
\]

Y ahora el segundo término:

\[
(5x^2 - 7)(6x - 2) = (5x^2)(6x) + (5x^2)(-2) + (-7)(6x) + (-7)(-2)
\]
\[
= 30x^3 - 10x^2 - 42x + 14
\]

### Paso 4: Sumamos los términos obtenidos.

\[
\frac{d}{dx} y = (30x^3 - 20x^2 + 10x) + (30x^3 - 10x^2 - 42x + 14)
\]

\[
= 60x^3 - 30x^2 - 32x + 14
\]

### Resultado final:

La primera derivada de la función es:
\[
\frac{dy}{dx} = 60x^3 - 30x^2 - 32x + 14
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o alguna explicación adicional?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para expandir el concepto:
1. ¿Cómo se deriva una función utilizando la regla de la cadena?
2. ¿Qué sucede si aplicas la regla del producto en más de dos funciones?
3. ¿Cómo afectaría a la derivada si una de las funciones fuera constante?
4. ¿Cómo encontrar puntos críticos de una función usando la derivada?
5. ¿Qué importancia tiene la regla del cociente en el cálculo de derivadas?

**Tip:** La derivada de un producto o cociente de funciones puede simplificarse usando identidades algebraicas antes de derivar para reducir errores.

Halle la primera derivada de las siguientes funciones aplique teoremas especiales (productos y cocientes)𝑦 = (5𝑥^2 − 7)(3𝑥^2 − 2𝑥 + 1)

Learn how to apply the product rule to find the derivative of the function y = (5x^2 - 7)(3x^2 - 2x + 1). This step-by-step solution includes key calculus concepts such as derivatives and the product rule, making it suitable for students in Grades 11-12.

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