Pour trouver la dérivée de la fonction $g(x) = x \cdot e^{-x}$, utilisons la règle du produit. La règle du produit pour deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ est donnée par :

$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Ici, $u(x) = x$ et $v(x) = e^{-x}$. Calculons les dérivées respectives de $u(x)$ et $v(x)$ :

1. $u'(x) = 1$
2. $v'(x) = -e^{-x}$ (car la dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$)

En appliquant la règle du produit :

$g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ $g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})$ $g'(x) = e^{-x} - x \cdot e^{-x}$ $g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}$

Donc, la dérivée est $g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}$.

En examinant les options proposées :

• $g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}$ : Correct
• $g'(x) = -e^{-x}$ : Incorrect
• $g'(x) = 1 - xe^{x}$ : Incorrect
• $g'(x) = e^{-x}$ : Incorrect

La bonne réponse est $g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}$.

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Astuce : En différentiant une fonction produit, gardez à l'esprit de dériver séparément chaque terme et d'appliquer correctement la règle du produit pour éviter les erreurs.