La fonction g définie sur RR par g(xx)=xxe−xe−x a pour dérivée la fonction g' définie par :

(plusieurs réponses possibles)

Question 7Veuillez choisir au moins une réponse.

g'(xx)=(1–xx)e−xe−x

g'(xx)=–e−xe−x

g'(xx)=1−xex1−xex

g'(xx)=e−x


Pour trouver la dérivée de la fonction \( g(x) = x \cdot e^{-x} \), utilisons la règle du produit. La règle du produit pour deux fonctions \( u(x) \) et \( v(x) \) est donnée par :

\[
(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\]

Ici, \( u(x) = x \) et \( v(x) = e^{-x} \). Calculons les dérivées respectives de \( u(x) \) et \( v(x) \) :

1. \( u'(x) = 1 \)
2. \( v'(x) = -e^{-x} \) (car la dérivée de \( e^{-x} \) est \( -e^{-x} \))

En appliquant la règle du produit :

\[
g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
\[
g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})
\]
\[
g'(x) = e^{-x} - x \cdot e^{-x}
\]
\[
g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}
\]

Donc, la dérivée est \( g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x} \).

En examinant les options proposées :

- **\( g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x} \)** : **Correct**
- \( g'(x) = -e^{-x} \) : Incorrect
- \( g'(x) = 1 - xe^{x} \) : Incorrect
- \( g'(x) = e^{-x} \) : Incorrect

La bonne réponse est **\( g'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x} \)**.

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**Astuce** : En différentiant une fonction produit, gardez à l'esprit de dériver séparément chaque terme et d'appliquer correctement la règle du produit pour éviter les erreurs.

Learn how to find the derivative of the function g(x) = x * e^(-x) using the product rule for differentiation. This problem involves calculating the derivative of a product of functions, including detailed steps and explanations.

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