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Para hallar la derivada de la función \( f(x) = \frac{(x^2 - 3x)^{1/2}}{x^2} \), aplicamos la regla del cociente y la regla de la cadena.

### Paso a paso para hallar la derivada:

1. **Expresamos la función en una forma más manejable:**

\[ f(x) = (x^2 - 3x)^{1/2} \cdot x^{-2} \]

2. **Utilizamos la regla del producto para derivar \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \) donde:**

\[ u(x) = (x^2 - 3x)^{1/2} \]
\[ v(x) = x^{-2} \]

La derivada de un producto \( u \cdot v \) es:

\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

3. **Derivamos \( u(x) \):**

\[ u(x) = (x^2 - 3x)^{1/2} \]

Usamos la regla de la cadena:

\[ u'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 3x)^{-1/2} \cdot (2x - 3) \]
\[ u'(x) = \frac{2x - 3}{2 \sqrt{x^2 - 3x}} \]

4. **Derivamos \( v(x) \):**

\[ v(x) = x^{-2} \]

Usamos la regla de la potencia:

\[ v'(x) = -2x^{-3} \]

5. **Aplicamos la regla del producto:**

\[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]

Sustituimos las derivadas y las funciones originales:

\[ f'(x) = \left( \frac{2x - 3}{2 \sqrt{x^2 - 3x}} \right) \cdot x^{-2} + (x^2 - 3x)^{1/2} \cdot (-2x^{-3}) \]

Simplificamos cada término:

\[ f'(x) = \frac{(2x - 3)}{2x^2 \sqrt{x^2 - 3x}} + \frac{-2(x^2 - 3x)^{1/2}}{x^3} \]

6. **Combinamos los términos en un solo denominador:**

Para combinar, llevamos ambos términos al mismo denominador:

\[ f'(x) = \frac{(2x - 3) - 4(x^2 - 3x)}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}} \]

Simplificamos el numerador:

\[ f'(x) = \frac{2x - 3 - 4x^2 + 12x}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}} \]
\[ f'(x) = \frac{-4x^2 + 14x - 3}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}} \]

Por lo tanto, la derivada de \( f(x) \) es:

\[ f'(x) = \frac{-4x^2 + 14x - 3}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}} \]

¿Tienes alguna pregunta o necesitas más detalles?

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**Consejo:** Al derivar una función que implica un cociente y una raíz cuadrada, es útil simplificar la función tanto como sea posible antes de aplicar las reglas de derivación.

Learn how to find the derivative of the function f(x) = ((x^2 - 3x)^(1/2)) / (x^2) step-by-step with detailed explanations and formulas. Explore the application of the chain rule and quotient rule in calculus. Suitable for college-level students.

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