Para hallar la derivada de la función $f(x) = \frac{(x^2 - 3x)^{1/2}}{x^2}$, aplicamos la regla del cociente y la regla de la cadena.

Paso a paso para hallar la derivada:

1. Expresamos la función en una forma más manejable:

$f(x) = (x^2 - 3x)^{1/2} \cdot x^{-2}$

2. Utilizamos la regla del producto para derivar $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ donde:

$u(x) = (x^2 - 3x)^{1/2}$ $v(x) = x^{-2}$

La derivada de un producto $u \cdot v$ es:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

3. Derivamos $u(x)$:

$u(x) = (x^2 - 3x)^{1/2}$

Usamos la regla de la cadena:

$u'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 3x)^{-1/2} \cdot (2x - 3)$ $u'(x) = \frac{2x - 3}{2 \sqrt{x^2 - 3x}}$

4. Derivamos $v(x)$:

$v(x) = x^{-2}$

Usamos la regla de la potencia:

$v'(x) = -2x^{-3}$

5. Aplicamos la regla del producto:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Sustituimos las derivadas y las funciones originales:

$f'(x) = \left( \frac{2x - 3}{2 \sqrt{x^2 - 3x}} \right) \cdot x^{-2} + (x^2 - 3x)^{1/2} \cdot (-2x^{-3})$

Simplificamos cada término:

$f'(x) = \frac{(2x - 3)}{2x^2 \sqrt{x^2 - 3x}} + \frac{-2(x^2 - 3x)^{1/2}}{x^3}$

6. Combinamos los términos en un solo denominador:

Para combinar, llevamos ambos términos al mismo denominador:

$f'(x) = \frac{(2x - 3) - 4(x^2 - 3x)}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}}$

Simplificamos el numerador:

$f'(x) = \frac{2x - 3 - 4x^2 + 12x}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}}$ $f'(x) = \frac{-4x^2 + 14x - 3}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}}$

Por lo tanto, la derivada de $f(x)$ es:

$f'(x) = \frac{-4x^2 + 14x - 3}{2x^3 \sqrt{x^2 - 3x}}$

¿Tienes alguna pregunta o necesitas más detalles?

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Consejo: Al derivar una función que implica un cociente y una raíz cuadrada, es útil simplificar la función tanto como sea posible antes de aplicar las reglas de derivación.