Rješenje:

Zadan je pravac $p$: $(x, y, z) = (2 - 3t, 1 + t, 3 - 2t)$ i točka $A = (-2, 1, -5)$ koja nije na tom pravcu.

1. Korak: Parametarski vektor pravca

Iz zadane jednadžbe pravca $p$ možemo izdvojiti točku na pravcu $P_0 = (2, 1, 3)$ i smjer pravca $\vec{d} = (-3, 1, -2)$.

2. Korak: Vektor od točke $P_0$ do točke $A$

Izračunajmo vektor $\vec{P_0A}$: $\vec{P_0A} = A - P_0 = (-2 - 2, 1 - 1, -5 - 3) = (-4, 0, -8)$

3. Korak: Projekcija vektora $\vec{P_0A}$ na smjer pravca $\vec{d}$

Formulom za projekciju vektora $\vec{P_0A}$ na $\vec{d}$ koristimo: $\text{proj}_{\vec{d}} \vec{P_0A} = \frac{\vec{P_0A} \cdot \vec{d}}{\vec{d} \cdot \vec{d}} \cdot \vec{d}$

Izračunajmo skalarni produkt $\vec{P_0A} \cdot \vec{d}$: $\vec{P_0A} \cdot \vec{d} = (-4) \cdot (-3) + 0 \cdot 1 + (-8) \cdot (-2) = 12 + 0 + 16 = 28$

Izračunajmo $\vec{d} \cdot \vec{d}$: $\vec{d} \cdot \vec{d} = (-3)^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$

Sada možemo izračunati projekciju: $\text{proj}_{\vec{d}} \vec{P_0A} = \frac{28}{14} \cdot \vec{d} = 2 \cdot (-3, 1, -2) = (-6, 2, -4)$

4. Korak: Točka $T$ na pravcu koja je najbliža točki $A$

Točku $T$ dobivamo kada od točke $P_0$ oduzmemo dobivenu projekciju: $T = P_0 + \text{proj}_{\vec{d}} \vec{P_0A} = (2, 1, 3) + (-6, 2, -4) = (-4, 3, -1)$

5. Korak: Udaljenost točke $A$ od pravca $p$

Udaljenost između točke $A$ i točke $T$ možemo naći kao normu vektora $\vec{AT}$: $\vec{AT} = T - A = (-4 - (-2), 3 - 1, -1 - (-5)) = (-2, 2, 4)$

Izračunajmo normu $\vec{AT}$: $|\vec{AT}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Odgovor

Točka $T$ na pravcu $p$ koja je najbliža točki $A$ je $T = (-4, 3, -1)$, a udaljenost točke $A$ od pravca $p$ je $d = 2\sqrt{6}$.

Želite li dodatna objašnjenja ili imate pitanja?

Dodatna pitanja

1. Kako se računa udaljenost točke od pravca u prostoru?
2. Koja je svrha projekcije vektora pri računanju najbliže točke?
3. Kako izračunati vektor smjera za zadani pravac?
4. Što nam govori norma vektora $\vec{AT}$ u ovom zadatku?
5. Kako bismo riješili zadatak da je točka $A$ na pravcu $p$?

Savjet

Kad tražite udaljenost od točke do pravca, često je korisno prvo pronaći najbližu točku na pravcu koristeći projekciju.