Рассмотрим задачу. Нам дана окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$, которая проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Диаметр окружности равен $6.4$, а длина $AB = 6$. Требуется найти длину $AC$.

Решение:

1. Радиус окружности:
   Радиус $R = \frac{\text{диаметр}}{2} = \frac{6.4}{2} = 3.2$.

2. Центр окружности $O$:
   Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, то радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен $AB$.
   Следовательно, $OB \perp AB$, где $O$ — центр окружности.

3. Положение центра $O$:
   Центр $O$ лежит на стороне $AC$ и на расстоянии $3.2$ от прямой $AB$, так как это радиус окружности. Пусть $h$ — перпендикуляр из точки $O$ на прямую $AB$, тогда $h = 3.2$.

4. Геометрия треугольника:
   Окружность проходит через вершину $C$. Поэтому $OC = 3.2$. Таким образом, $O$ — точка на стороне $AC$, где расстояние до $AB$ равно $3.2$.

5. Вычисление длины $AC$:
   Поскольку $O$ лежит на $AC$, длина $AC$ равна удвоенному расстоянию от $O$ до $C$ (радиус проходит из $O$ к $C$).
   Таким образом, $AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 3.2 = 6.4$.

Ответ:

Длина $AC = 6.4$.

---

Дополнительные вопросы:

1. Как связаны радиус окружности и расстояние от её центра до касательной?
2. Как доказать, что центр окружности находится на стороне треугольника $AC$?
3. Почему радиус окружности равен расстоянию от её центра до касательной?
4. Как изменится задача, если окружность касается $AB$ в другой точке?
5. Как найти длину другой стороны треугольника $BC$?

Полезный совет:

Всегда используйте свойства касательной и перпендикуляра для упрощения задач с окружностями и треугольниками.