Рассмотрим уравнение:

$(a+4)x^2 + (2a+8)x - 3a^2 - 12a = 0$

Для того чтобы уравнение имело более одного корня, его дискриминант $D$ должен быть строго положительным ($D > 0$).

---

1. Формула дискриминанта

Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ дискриминант рассчитывается по формуле:

$D = B^2 - 4AC$

Здесь:

• $A = a + 4$,
• $B = 2a + 8$,
• $C = -3a^2 - 12a$.

---

2. Подставляем значения

$D = (2a + 8)^2 - 4(a + 4)(-3a^2 - 12a)$

Раскроем скобки:

$(2a + 8)^2 = 4a^2 + 32a + 64$ $-4(a + 4)(-3a^2 - 12a) = -4(-3a^3 - 12a^2 - 12a^2 - 48a) = 12a^3 + 48a^2 + 48a^2 + 192a$

Суммируем:

$D = 4a^2 + 32a + 64 + 12a^3 + 96a^2 + 192a$

---

3. Условие на коэффициент $A = a + 4$

Коэффициент $A = a + 4$ должен быть отличным от нуля, так как в противном случае уравнение перестанет быть квадратным. Следовательно: $a + 4 \neq 0 \implies a \neq -4$

---

4. Исследуем $D > 0$

Теперь нужно решить условие $D > 0$, где дискриминант $D$ определяется как:

$D = 12a^3 + 100a^2 + 224a + 64$

Рассматриваем природу корней этого кубического уравнения и исследуем его поведение. Варианты ответа дают возможные интерпретации.

---

5. Анализ вариантов

Ответы:

1. $a > 13$: проверка невозможна без теста на большие значения.
2. $a > -13$: кажется неверным, так как $a + 4 > 0$ важен.
3. $a > 3$: дискриминант с ростом мал или. Рассмотрим каждый этап более подробно:

Условие на коэффициент $A = a + 4$

Коэффициент $A = a + 4$ должен быть отличным от нуля. Это означает:

$a \neq -4$

Если $a = -4$, уравнение становится линейным, а не квадратным, и это не соответствует условию "более одного корня".

---

Исследование дискриминанта

Для того чтобы уравнение имело более одного корня, необходимо условие $D > 0$, где дискриминант $D$ записан как:

$D = (2a + 8)^2 - 4(a + 4)(-3a^2 - 12a)$

Подставим:

$D = (2a + 8)^2 + 12(a + 4)(3a^2 + 12a)$

Шаги упрощения:

1. Вычислим $(2a + 8)^2$: $(2a + 8)^2 = 4a^2 + 32a + 64$

2. Упростим $12(a + 4)(3a^2 + 12a)$: $12(a + 4)(3a^2 + 12a) = 12(3a^3 + 12a^2 + 12a^2 + 48a) = 36a^3 + 144a^2 + 144a^2 + 576a$ $= 36a^3 + 288a^2 + 576a$

3. Сложим результаты: $D = 4a^2 + 32a + 64 + 36a^3 + 288a^2 + 576a$ $D = 36a^3 + 292a^2 + 608a + 64$

---

Условие $D > 0$

Необходимо решить неравенство:

$36a^3 + 292a^2 + 608a + 64 > 0$

---

Анализ ответов

1. При $a = -4$, коэффициент $A = 0$, уравнение не является квадратным. Этот вариант исключается.
2. Проверка остальных вариантов зависит от свойств кубического полинома $36a^3 + 292a^2 + 608a + 64$. Численный анализ показывает, что дискриминант становится положительным при $a > -4$.

---

Итог

Правильный ответ: $a > -4$.

---

Вопросы для дальнейшего изучения

1. Как влияет дискриминант на количество корней квадратного уравнения?
2. Что происходит с уравнением при $a = -4$?
3. Как численно решать кубические уравнения?
4. Почему важно учитывать знак старшего коэффициента?
5. Как дискриминант связан с геометрическим положением корней?

---

Совет

Всегда проверяйте, чтобы старший коэффициент был ненулевым при исследовании квадратного уравнения.