Question 2 : Prouver que deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci n'ont aucun diviseur commun supérieur ou égal à 2, i.e., ils sont premiers entre eux.

Soit $F_n$ et $F_{n+1}$ deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci. L'objectif est de prouver que ces deux nombres sont premiers entre eux, c'est-à-dire que leur plus grand commun diviseur (pgcd) est égal à 1.

Nous allons utiliser une propriété fondamentale des suites de Fibonacci liée au pgcd :
$\text{pgcd}(F_m, F_n) = F_{\text{pgcd}(m, n)}$ Cela signifie que le pgcd de deux termes de Fibonacci est égal au terme de Fibonacci correspondant à leur pgcd d'indices.

Étape 1 : Appliquer la propriété du pgcd sur les termes consécutifs

Nous devons prouver que $\text{pgcd}(F_n, F_{n+1}) = 1$.

Utilisons la propriété mentionnée ci-dessus : $\text{pgcd}(F_n, F_{n+1}) = F_{\text{pgcd}(n, n+1)}$

Étape 2 : Calculer le pgcd de $n$ et $n+1$

Le pgcd de $n$ et $n+1$ est toujours égal à 1, car $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs, et deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux. En d'autres termes, on a : $\text{pgcd}(n, n+1) = 1$

Étape 3 : Conclure que le pgcd des termes de Fibonacci est 1

En utilisant cette information dans la formule, on obtient : $\text{pgcd}(F_n, F_{n+1}) = F_{\text{pgcd}(n, n+1)} = F_1$

Or, $F_1 = 1$. Ainsi, on a : $\text{pgcd}(F_n, F_{n+1}) = 1$

Cela prouve que les termes $F_n$ et $F_{n+1}$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun diviseur commun supérieur ou égal à 2.

Conclusion

Les deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, $F_n$ et $F_{n+1}$, sont premiers entre eux.

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Voulez-vous des détails supplémentaires ou des clarifications sur ce raisonnement ?

Voici quelques questions pour approfondir :

1. Quelle est la relation entre le pgcd et les suites de Fibonacci ?
2. Que se passe-t-il si on considère des termes de Fibonacci non consécutifs ?
3. Comment cette propriété est-elle utilisée dans la théorie des nombres ?
4. Quelle est la démonstration générale du pgcd de deux termes de Fibonacci ?
5. Peut-on appliquer cette propriété pour des suites numériques autres que Fibonacci ?

Astuce : Les suites de Fibonacci possèdent de nombreuses propriétés intéressantes, notamment en relation avec les pgcd et la divisibilité. Il est utile de connaître ces propriétés pour résoudre des problèmes plus complexes.