Per scomporre in fattori il polinomio dato:

$a^3 - 8 + 12a - 6a^2,$

seguiamo questi passi:

1. Riordina il polinomio

Scriviamo i termini in ordine decrescente rispetto alle potenze di $a$: $a^3 - 6a^2 + 12a - 8.$

2. Raggruppa i termini

Proviamo a raggruppare i termini in modo strategico: $(a^3 - 6a^2) + (12a - 8).$

3. Raccogli un fattore comune in ogni gruppo

Nel primo gruppo ($a^3 - 6a^2$) possiamo raccogliere $a^2$. Nel secondo gruppo ($12a - 8$) possiamo raccogliere $4$: $a^2(a - 6) + 4(3a - 2).$

4. Riorganizza per identificare fattori comuni

Riscriviamo il polinomio osservando i termini comuni: $a^2(a - 6) + 4(a - 6).$

5. Raccogli il fattore comune

Il termine comune è $(a - 6)$, quindi possiamo raccoglierlo: $(a - 6)(a^2 + 4).$

Risultato finale:

$a^3 - 8 + 12a - 6a^2 = (a - 6)(a^2 + 4).$

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Hai bisogno di ulteriori chiarimenti o spiegazioni? 😊
Ecco alcune domande per esercitarti:

1. Qual è la differenza tra raccogliere un fattore comune e scomporre con la regola del trinomio?
2. Come scomporresti $x^3 - 27$?
3. Perché $a^2 + 4$ non si può scomporre ulteriormente nel campo dei numeri reali?
4. Come si risolve un'equazione che contiene un polinomio scomposto, ad esempio $(a - 6)(a^2 + 4) = 0$?
5. Qual è il significato geometrico di scomporre un polinomio?

Tip: Quando scomponi, verifica sempre se i termini rimanenti possono essere ulteriormente semplificati!