问题：

将 $\frac{1}{(z^2 + i)(z - 3)}$ 在 $1 < |z| < 3$ 内展开成洛朗级数。

解答：

要在 $1 < |z| < 3$ 内展开成洛朗级数，我们需要将分母进行部分分式分解，然后分别在两个部分展开成幂级数。

1. 部分分式分解：

将分母分解： $\frac{1}{(z^2 + i)(z - 3)} = \frac{A}{z^2 + i} + \frac{B}{z - 3}$

为了找到 $A$ 和 $B$，我们将等式两边乘以 $(z^2 + i)(z - 3)$： $1 = A(z - 3) + B(z^2 + i)$

让 $z = 3$： $1 = A(3 - 3) + B(3^2 + i) \implies 1 = B(9 + i) \implies B = \frac{1}{9 + i}$

让 $z^2 + i = 0$，即 $z^2 = -i$，解得 $z = \pm \sqrt{-i}$。假设 $z = i^{3/4}$， $1 = A(i^{3/4} - 3) + B(i^{3/2} + i) \implies 1 = A(i^{3/4} - 3)$ 但因为 $\sqrt{-i}$ 不是我们关心的范围内的点，我们直接找 $z = 0$ 处的 $A$： $1 = A(-3) + B(i) \implies 1 = -3A + \frac{i}{9 + i}$ 解 $A$： $1 = -3A + \frac{1}{9 + i}i \implies A = -\frac{1}{3} - \frac{i}{3(9 + i)}$

2. 级数展开：

对于 $\frac{1}{z^2 + i}$，在 $1 < |z| < 3$ 以内，我们将 $z^2$ 看成大于1的值，可以展开为负幂的级数： $\frac{1}{z^2 + i} = \frac{1}{z^2 (1 + \frac{i}{z^2})} = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{i}{z^2}}$ 使用几何级数展开公式 $\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$： $\frac{1}{1 + \frac{i}{z^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{i}{z^2} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2n}}$ 所以 $\frac{1}{z^2 + i} = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2n}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2(n+1)}}$

对于 $\frac{1}{z - 3}$： \frac{1}{z - 3} \text{ 在 } |z| > 3 \text{ 展开}，但在 } 1 < |z| < 3 \text{ 内}： $\frac{1}{z - 3} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z}{3} \right)^n = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^n} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}$

综上所述，洛朗级数为： $\frac{A}{z^2 + i} + \frac{B}{z - 3} = \left(-\frac{1}{3} - \frac{i}{3(9 + i)}\right) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2(n+1)}} + \frac{1}{9 + i} \left(-\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}\right)$

如有其他问题或需要进一步解释，请告诉我。