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### 问题：
将 \(\frac{1}{(z^2 + i)(z - 3)}\) 在 \(1 < |z| < 3\) 内展开成洛朗级数。

### 解答：
要在 \(1 < |z| < 3\) 内展开成洛朗级数，我们需要将分母进行部分分式分解，然后分别在两个部分展开成幂级数。

1. **部分分式分解：**

将分母分解：
\[
\frac{1}{(z^2 + i)(z - 3)} = \frac{A}{z^2 + i} + \frac{B}{z - 3}
\]

为了找到 \(A\) 和 \(B\)，我们将等式两边乘以 \((z^2 + i)(z - 3)\)：
\[
1 = A(z - 3) + B(z^2 + i)
\]

让 \(z = 3\)：
\[
1 = A(3 - 3) + B(3^2 + i) \implies 1 = B(9 + i) \implies B = \frac{1}{9 + i}
\]

让 \(z^2 + i = 0\)，即 \(z^2 = -i\)，解得 \(z = \pm \sqrt{-i}\)。假设 \(z = i^{3/4}\)，
\[
1 = A(i^{3/4} - 3) + B(i^{3/2} + i) \implies 1 = A(i^{3/4} - 3)
\]
但因为 \(\sqrt{-i}\) 不是我们关心的范围内的点，我们直接找 \(z = 0\) 处的 \(A\)：
\[
1 = A(-3) + B(i) \implies 1 = -3A + \frac{i}{9 + i}
\]
解 \(A\)：
\[
1 = -3A + \frac{1}{9 + i}i \implies A = -\frac{1}{3} - \frac{i}{3(9 + i)}
\]

2. **级数展开：**

对于 \( \frac{1}{z^2 + i} \)，在 \(1 < |z| < 3\) 以内，我们将 \(z^2\) 看成大于1的值，可以展开为负幂的级数：
\[
\frac{1}{z^2 + i} = \frac{1}{z^2 (1 + \frac{i}{z^2})} = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{i}{z^2}}
\]
使用几何级数展开公式 \( \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \)：
\[
\frac{1}{1 + \frac{i}{z^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{i}{z^2} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2n}}
\]
所以
\[
\frac{1}{z^2 + i} = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2n}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2(n+1)}}
\]

对于 \( \frac{1}{z - 3} \)：
\[
\frac{1}{z - 3} \text{ 在 } |z| > 3 \text{ 展开}，但在 } 1 < |z| < 3 \text{ 内}：
\]
\[
\frac{1}{z - 3} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z}{3} \right)^n = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^n} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}
\]

综上所述，洛朗级数为：
\[
\frac{A}{z^2 + i} + \frac{B}{z - 3} = \left(-\frac{1}{3} - \frac{i}{3(9 + i)}\right) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{i^n}{z^{2(n+1)}} + \frac{1}{9 + i} \left(-\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{3^{n+1}}\right)
\]

如有其他问题或需要进一步解释，请告诉我。

Learn how to expand the complex function \(\frac{1}{(z^2 + i)(z - 3)}\) into a Laurent series within the annulus \(1 < |z| < 3\). This problem covers complex analysis topics such as Laurent series, partial fraction decomposition, and geometric series expansion. Suitable for advanced college-level students.

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