La proposition avec quantificateurs qui exprime le fait qu'entre deux nombres rationnels distincts, il existe toujours un nombre irrationnel, peut s'écrire ainsi :

$\forall a, b \in \mathbb{Q},\ a < b \implies \exists x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ \text{tel que}\ a < x < b$

Ce qui signifie : pour tout couple de nombres rationnels distincts $a$ et $b$ tels que $a < b$, il existe un nombre irrationnel $x$ appartenant à l'ensemble des réels $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (les irrationnels) tel que $a < x < b$.

Cela exprime bien que, entre deux nombres rationnels distincts, il y a toujours un nombre irrationnel.

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Voici 5 questions connexes :

1. Comment prouver qu'entre deux rationnels distincts, il existe un irrationnel ?
2. Existe-t-il une méthode pour trouver un irrationnel spécifique entre deux rationnels donnés ?
3. Peut-on appliquer une proposition similaire pour affirmer qu'il existe toujours un rationnel entre deux irrationnels distincts ?
4. Quelles sont les propriétés des nombres rationnels et irrationnels qui permettent cette situation ?
5. Comment les nombres décimaux périodiques se lient-ils à la nature des rationnels et irrationnels ?

Astuce : Un exemple classique d'un irrationnel est $\sqrt{2}$, et une façon d'obtenir un irrationnel entre deux rationnels est d'utiliser une somme pondérée d'un rationnel et d'un irrationnel.