Jag har laddat upp en tentamen i matematisk analys och kan skapa en liknande exempeluppsättning baserat på de vanligaste uppgiftstyperna som finns med. Här är en strukturerad exempelstentamen med lösningar:

---

Exempeltentamen i Matematisk Analys 1

Del 1 (25 poäng)

1. Förenkla och beräkna (4p)
   a) Förenkla uttrycket:
   $\frac{x + 2}{x^2 + x} - \frac{x - 3}{x(x + 1)}$
   b) Beräkna:
   $\ln(16) - \ln(4) + \ln(0.25)$

---

2. Lös ekvationerna (5p)
   a) $\sqrt{3x - 2} = x - 1$
   b) $e^{2x} - 3e^x = 4$

---

3. Trigonometri och derivata (6p)
   a) Lös ekvationen:
   $\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, för $x \in [0, 2\pi]$.
   b) Derivera och förenkla:
   $y = \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)}$

---

4. Gränsvärden och serier (5p)
   a) Bestäm:
   $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$
   b) Visa att:
   $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 2$

---

5. Optimering och ekonomi (5p)
   Ett företag producerar en produkt där kostnaden för att producera $x$ enheter ges av $C(x) = 50\sqrt{x}$. Produkterna säljs för 10 kr styck. Hur många enheter måste produceras för att uppnå vinst? Visa beräkningar.

---

Del 2 (15 poäng)

6. Trigonometriska ekvationer och olikheter (6p)
   a) Lös ekvationen:
   $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$.
   b) Lös olikheten:
   $x^3 - 4x^2 + x - 6 > 0$.

---

7. Kurvskissering och asymptoter (5p)
   Skissa grafen till $f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$. Ange eventuella asymptoter och lokala extrempunkter.

---

8. Logaritmer och derivata (4p)
   Undersök funktionen $f(x) = \ln(1 + x^2)$ på intervallet $[-1, 3]$. Hitta största och minsta värden.

---

Lösningar

Del 1

1. a) Förenkla uttrycket:
   $\frac{x + 2}{x^2 + x} - \frac{x - 3}{x(x + 1)} = \frac{5}{x(x + 1)}$
   b) Beräkna:
   $\ln(16) - \ln(4) + \ln(0.25) = \ln\left(\frac{16}{4} \cdot 0.25\right) = \ln(1) = 0$

---

2. a) $\sqrt{3x - 2} = x - 1$:
   Kvadrera båda sidor:
   $3x - 2 = (x - 1)^2 \implies 3x - 2 = x^2 - 2x + 1$.
   Lösning: $x = 3$ och $x = 1$. Endast $x = 3$ är giltig.

b) $e^{2x} - 3e^x = 4$:
Sätt $y = e^x$, då $y^2 - 3y - 4 = 0$. Faktorisera:
$(y - 4)(y + 1) = 0$.
Lösning: $e^x = 4 \implies x = \ln(4)$.

---

Fortsätt gärna med fler lösningar, eller låt mig veta om du vill ha mer detaljer.

---

Vill du ha lösningar till alla uppgifter? Här är 5 relaterade frågor att utforska vidare:

1. Hur analyseras funktionens kontinuitet på ett givet intervall?
2. Kan alla gränsvärden approximeras numeriskt?
3. Hur påverkar startvillkor lösningen av en differentialekvation?
4. Hur används derivator i ekonomiska tillämpningar?
5. Vad är geometrisk tolkning av gränsvärden?

Tips: Vid tentor, skriv tydliga steg i varje lösning för att undvika onödiga poängavdrag!