از قضیه ارائه‌شده، برای یافتن ۵ مثال و نشان دادن ناپایداری سیستم در نقطه تعادل $0$، باید موارد زیر را دنبال کنیم:

1. انتخاب معادلات دینامیکی یا سیستم‌های مناسب.
2. تعریف تابع $V(t, x)$ که شرایط قضیه را برآورده کند:
   • $\dot{V}$ باید یک فرم نیمه مثبت معین باشد (l.p.d.f).
   • $V(t, 0) = 0$ و وجود نقاط $x$ نزدیک به $0$ که $V(t_0, x) > 0$.

سپس نشان خواهیم داد که این سیستم‌ها در نقطه $0$ ناپایدار هستند.

مثال‌ها:

1. سیستم تک‌متغیره $\dot{x} = -x^3$:

• تابع کاندید: $V(x) = x^2$.
• مشتق زمانی: $\dot{V} = 2x \dot{x} = 2x(-x^3) = -2x^4$. این نیمه مثبت است زیرا $\dot{V} \leq 0$ اما فقط در صفر مساوی صفر است.
• برای $x \to 0$، $V > 0$.

نتیجه: این نقطه ناپایدار است.

2. سیستم $\dot{x} = x^3 - x$:

• تابع $V(x) = x^2$.
• مشتق زمانی: $\dot{V} = 2x(x^3 - x) = 2x^4 - 2x^2$. این دوباره یک فرم نیمه مثبت دارد.
• شرایط قضیه برآورده شده است.

نتیجه: $0$ ناپایدار است.

3. سیستم دو بعدی $\dot{x} = y, \dot{y} = -x + y^3$:

• تابع $V(x, y) = x^2 + y^2$.
• مشتق زمانی: $\dot{V} = 2x\dot{x} + 2y\dot{y} = 2x(y) + 2y(-x + y^3) = 2xy - 2xy + 2y^4 = 2y^4$. این مقدار نیمه مثبت معین است.
• شرایط قضیه برآورده شده است.

نتیجه: $0$ ناپایدار است.

4. سیستم $\dot{x} = x^2 - y^2, \dot{y} = 2xy$:

• تابع $V(x, y) = x^2 + y^2$.
• مشتق زمانی: $\dot{V} = 2x(x^2 - y^2) + 2y(2xy) = 2x^3 - 2xy^2 + 4xy^2 = 2x^3 + 2xy^2$. شرایط نیمه مثبت را برآورده می‌کند.
• نزدیکی به $0$ این شرایط را نشان می‌دهد.

نتیجه: $0$ ناپایدار است.

5. سیستم $\dot{x} = x + y^3, \dot{y} = -y + x^2$:

• تابع $V(x, y) = x^2 + y^2$.
• مشتق زمانی: ( \dot{V} = 2