Vamos a resolver el segundo ejercicio:

Ecuación:

$(3xy^3 + 4y)dx + (3x^2y^2 + 2x)dy = 0$

Esta ecuación diferencial no es exacta a primera vista, por lo que intentaremos hacerla exacta mediante un factor integrante.

1. Verificamos si la ecuación es exacta:

Una ecuación diferencial de la forma $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta si: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

Donde:

• $M(x, y) = 3xy^3 + 4y$
• $N(x, y) = 3x^2y^2 + 2x$

Ahora calculamos las derivadas parciales:

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3xy^3 + 4y) = 9xy^2 + 4$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2x) = 6xy^2 + 2$

Ya que: $\frac{\partial M}{\partial y} = 9xy^2 + 4 \quad \text{y} \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 6xy^2 + 2$ Claramente, $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$, por lo que la ecuación no es exacta.

2. Buscar un factor integrante:

Para hacer exacta la ecuación, vamos a buscar un factor integrante que dependa de $x$, es decir, $\mu(x)$.

El criterio es que: $\frac{1}{\mu(x)} \left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right)$ sea una función de $x$ únicamente.

Primero encontramos: $\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = (9xy^2 + 4) - (6xy^2 + 2) = 3xy^2 + 2$

Ya que esta expresión no depende de $y$, podemos buscar un factor integrante $\mu(x)$ tal que: $\frac{d\mu(x)}{dx} = \frac{3x}{\mu(x)}$

Esto nos lleva a la ecuación diferencial: $\frac{d\mu(x)}{dx} = \frac{3}{x}$

Integrando ambos lados: $\ln(\mu(x)) = 3\ln(x) \quad \Rightarrow \quad \mu(x) = x^3$

3. Multiplicamos la ecuación por el factor integrante $x^3$:

$x^3(3xy^3 + 4y)dx + x^3(3x^2y^2 + 2x)dy = 0$ $(3x^4y^3 + 4x^3y)dx + (3x^5y^2 + 2x^4)dy = 0$

Ahora calculamos las derivadas parciales para verificar si es exacta:

$M(x, y) = 3x^4y^3 + 4x^3y \quad \text{y} \quad N(x, y) = 3x^5y^2 + 2x^4$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^4y^3 + 4x^3y) = 9x^4y^2 + 4x^3$ $\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^5y^2 + 2x^4) = 15x^4y^2 + 8x^3$

Parece que no es exacta aún.