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Vamos a resolver el segundo ejercicio:

### Ecuación:
\[
(3xy^3 + 4y)dx + (3x^2y^2 + 2x)dy = 0
\]

Esta ecuación diferencial no es exacta a primera vista, por lo que intentaremos hacerla exacta mediante un **factor integrante**.

#### 1. Verificamos si la ecuación es exacta:
Una ecuación diferencial de la forma \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) es exacta si:
\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
\]

Donde:
- \( M(x, y) = 3xy^3 + 4y \)
- \( N(x, y) = 3x^2y^2 + 2x \)

Ahora calculamos las derivadas parciales:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3xy^3 + 4y) = 9xy^2 + 4
\]

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2x) = 6xy^2 + 2
\]

Ya que:
\[
\frac{\partial M}{\partial y} = 9xy^2 + 4 \quad \text{y} \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 6xy^2 + 2
\]
Claramente, \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), por lo que la ecuación **no es exacta**.

#### 2. Buscar un factor integrante:
Para hacer exacta la ecuación, vamos a buscar un factor integrante que dependa de \(x\), es decir, \( \mu(x) \).

El criterio es que:
\[
\frac{1}{\mu(x)} \left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right)
\]
sea una función de \(x\) únicamente.

Primero encontramos:
\[
\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = (9xy^2 + 4) - (6xy^2 + 2) = 3xy^2 + 2
\]

Ya que esta expresión no depende de \(y\), podemos buscar un factor integrante \( \mu(x) \) tal que:
\[
\frac{d\mu(x)}{dx} = \frac{3x}{\mu(x)}
\]

Esto nos lleva a la ecuación diferencial:
\[
\frac{d\mu(x)}{dx} = \frac{3}{x}
\]

Integrando ambos lados:
\[
\ln(\mu(x)) = 3\ln(x) \quad \Rightarrow \quad \mu(x) = x^3
\]

#### 3. Multiplicamos la ecuación por el factor integrante \( x^3 \):
\[
x^3(3xy^3 + 4y)dx + x^3(3x^2y^2 + 2x)dy = 0
\]
\[
(3x^4y^3 + 4x^3y)dx + (3x^5y^2 + 2x^4)dy = 0
\]

Ahora calculamos las derivadas parciales para verificar si es exacta:

\[
M(x, y) = 3x^4y^3 + 4x^3y \quad \text{y} \quad N(x, y) = 3x^5y^2 + 2x^4
\]

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^4y^3 + 4x^3y) = 9x^4y^2 + 4x^3
\]
\[
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^5y^2 + 2x^4) = 15x^4y^2 + 8x^3
\]

Parece que no es exacta aún.

Resuelve el ejercicio 2: (3xy^3 + 4y)dx + (3x^2y^2 + 2x)dy = 0

Learn how to solve the differential equation (3xy^3 + 4y)dx + (3x^2y^2 + 2x)dy = 0 using an integrating factor. This solution explains how to make the equation exact by finding the appropriate integrating factor, with step-by-step calculations involving partial derivatives. Suitable for undergraduate students.

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