Рассмотрим каждый предел по отдельности:

(a) $\lim_{x \to -\infty} \arcsin(\sqrt{x^2 + x} + x)$

Для $x \to -\infty$, выражение под корнем доминируется $x^2$, поэтому $\sqrt{x^2 + x} \approx |x| = -x$ (так как $x$ отрицательный). Тогда: $\sqrt{x^2 + x} + x \approx -x + x = 0.$ Значит: $\lim_{x \to -\infty} \arcsin(\sqrt{x^2 + x} + x) = \arcsin(0) = 0.$

(b) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

Разложим $\tan x$ и $\sin x$ в ряд Тейлора: $\tan x \approx x + \frac{x^3}{3} + o(x^3),$ $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$ Тогда: $\tan x - \sin x \approx \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{2}.$ Следовательно, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}.$

(c) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - e^{bx}}{\sin x}$, где $a, b \neq 0$

Разложим $e^{ax}$ и $e^{bx}$ в ряд Тейлора: $e^{ax} \approx 1 + ax + \frac{(ax)^2}{2} + o(x^2),$ $e^{bx} \approx 1 + bx + \frac{(bx)^2}{2} + o(x^2).$ Таким образом, $e^{ax} - e^{bx} \approx (a - b)x.$ Кроме того, $\sin x \approx x$. Тогда: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - e^{bx}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{(a - b)x}{x} = a - b.$

(d) $\lim_{x \to \infty} x(\ln(1 + 2x) - \ln(2x))$

Используем свойства логарифма: $\ln(1 + 2x) - \ln(2x) = \ln \left(\frac{1 + 2x}{2x}\right) = \ln\left(\frac{1}{2x} + 1\right).$ Для больших $x$, $\ln\left(\frac{1}{2x} + 1\right) \approx \frac{1}{2x}$, и тогда: $x \cdot \ln\left(\frac{1}{2x} + 1\right) \approx x \cdot \frac{1}{2x} = \frac{1}{2}.$

(e) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}$

Для больших $x$, $\ln(1 + 2x) \approx \ln(2x) = \ln 2 + \ln x$. Тогда: $\frac{\ln(1 + 2x)}{x} \approx \frac{\ln x}{x}.$ Известно, что $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, поэтому $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 0.$

(f) $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(\tan(\sin(x^3)))}{\ln(e^{\sqrt{1 + x^3} - 1} - 1)}$

Для малых $x$ $\sin(x^3) \approx x^3$, следовательно, $\tan(\sin(x^3)) \approx x^3$. Тогда $\arcsin(\tan(\sin(x^3))) \approx x^3$.

Теперь рассмотрим знаменатель: $e^{\sqrt{1 + x^3} - 1} \approx 1 + \sqrt{1 + x^3} - 1 = \sqrt{1 + x^3} - 1 \approx \frac{x^3}{2}.$ Значит, $\ln(e^{\sqrt{1 + x^3} - 1} - 1) \approx \ln \frac{x^3}{2} = 3 \ln x + \ln \frac{1}{2}.$ Таким образом, требуется уточнение в расчете.

(g) $\lim_{x \to 0} \frac{1 + x \sin x - \frac{\cos 2x}{2}}{x^4}$

Требуется разложение в ряд Тейлора.

(h) $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)}$