Math Problem Statement

Olkoon 𝑅 ekvivalenssirelaatio joukossa 𝐴. Mikä seuraavista relaation 𝑅 ekvivalenssiluokkia koskevista väitteistä on tosi?

Kysymys 1 Vastaus

Samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat joukon 𝐴 alkiot ovat kaikki relaatiossa 𝑅 toistensa kanssa.

Joukon 𝐴 alkio voi kuulua useampaan eri ekvivalenssiluokkaan, jos se on relaatiossa 𝑅 useamman eri alkion kanssa.

Voi olla olemassa joukon 𝐴 alkioita, jotka eivät kuulu mihinkään ekvivalenssiluokkaan.

Kaikki joukon 𝐴 alkiot kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan.

Solution

Analysoidaan kysymys, jossa tarkastellaan ekvivalenssirelaation RR ominaisuuksia joukossa AA. Ekvivalenssirelaatio on relaation tyyppi, joka täyttää kolme ominaisuutta: refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus. Näiden ominaisuuksien perusteella ekvivalenssirelaatio jakaa joukon AA alkioiden väliset suhteet ekvivalenssiluokkiin, joilla on seuraavat ominaisuudet:

  1. Jokainen alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan.
  2. Ekvivalenssiluokan sisällä kaikki alkiot ovat relaatiossa RR toistensa kanssa.
  3. Eri ekvivalenssiluokat ovat toisistaan erillisiä eli disjunktteja.

Tarkastellaan annettuja väitteitä:

1. Samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat joukon AA alkiot ovat kaikki relaatiossa RR toistensa kanssa.

  • Tämä on tosi. Tämä on ekvivalenssiluokkien määritelmä: kaikki saman luokan alkiot ovat keskenään relaatiossa.

2. Joukon AA alkio voi kuulua useampaan eri ekvivalenssiluokkaan, jos se on relaatiossa RR useamman eri alkion kanssa.

  • Tämä on väärin. Jokainen alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan. SäännĂśt takaavat, että ekvivalenssiluokat ovat erillisiä.

3. Voi olla olemassa joukon AA alkioita, jotka eivät kuulu mihinkään ekvivalenssiluokkaan.

  • Tämä on väärin. Ekvivalenssirelaation määritelmä takaa, että jokainen alkio kuuluu johonkin ekvivalenssiluokkaan, koska ekvivalenssiluokat muodostetaan koko joukosta AA.

4. Kaikki joukon AA alkiot kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan.

  • Tämä on väärin, ellei relaation RR määritelmä tee kaikista alkioista keskenään ekvivalentteja. Tavallisesti ekvivalenssirelaatio tuottaa useita erillisiä luokkia, paitsi erikoistapauksessa, jossa kaikki alkiot ovat keskenään ekvivalentteja.

Oikea vastaus on siis väite 1.


Haluatko tarkempaa selitystä aiheeseen liittyen? Tässä viisi jatkokysymystä aiheeseen:

  1. Mitä tarkoittaa, että ekvivalenssirelaatio on refleksiivinen?
  2. Kuinka ekvivalenssiluokat muodostetaan annetusta joukosta?
  3. Miten ekvivalenssirelaatio eroaa järjestysrelaatiosta?
  4. Voiko ekvivalenssiluokkien määrää laskea ennalta annetulle joukolle?
  5. Mikä on esimerkki reaalimaailmasta, jossa ekvivalenssirelaatioita käytetään?

Vinkki: Harjoittele piirtämällä Venn-diagrammeja, joissa kuvataan joukko ja sen ekvivalenssiluokat. Näin hahmotat luokkien ominaisuudet visuaalisesti!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Set Theory
Equivalence Relations
Equivalence Classes

Formulas

-

Theorems

Properties of Equivalence Relations (Reflexivity, Symmetry, Transitivity)

Suitable Grade Level

Grades 10-12