1. Уравнение плоскости (α), проходящей через точки $A_1(1, 1, 3)$, $A_2(4, 1, 5)$, $A_3(2, 2, 1)$

Уравнение плоскости можно записать в виде: $Ax + By + Cz + D = 0,$ где $A, B, C$ — координаты нормального вектора плоскости, который можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.

1. Найдем векторы: $\vec{A_1A_2} = (4-1, 1-1, 5-3) = (3, 0, 2),$ $\vec{A_1A_3} = (2-1, 2-1, 1-3) = (1, 1, -2).$

2. Векторное произведение $\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}$:

   \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1),$$ $$\vec{N} = (-2)\mathbf{i} - (-6 - 2)\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (-2, 8, 3).$$

Нормальный вектор $\vec{N} = (-2, 8, 3)$.

3. Уравнение плоскости: Подставим точку $A_1(1, 1, 3)$ в уравнение $-2x + 8y + 3z + D = 0$: $-2(1) + 8(1) + 3(3) + D = 0 \quad \Rightarrow \quad -2 + 8 + 9 + D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = -15.$

Итак, уравнение плоскости: $-2x + 8y + 3z - 15 = 0.$

---

2. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $A_4(5, 2, 3)$ и перпендикулярной плоскости (α)

Прямая, перпендикулярная плоскости, направлена вдоль нормального вектора $\vec{N} = (-2, 8, 3)$. Каноническое уравнение прямой: $\frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C},$ где $(x_0, y_0, z_0) = (5, 2, 3)$ и $(A, B, C) = (-2, 8, 3)$.

Подставим значения: $\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 2}{8} = \frac{z - 3}{3}.$

Итак, уравнение прямой: $\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 2}{8} = \frac{z - 3}{3}.$

---

3. Расстояние от точки $A_4(5, 2, 3)$ до плоскости (α)

Расстояние от точки $A_4(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ находится по формуле: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$

Подставим $A = -2$, $B = 8$, $C = 3$, $D = -15$, и $(x_0, y_0, z_0) = (5, 2, 3)$: $d = \frac{|(-2)(5) + (8)(2) + (3)(3) - 15|}{\sqrt{(-2)^2 + 8^2 + 3^2}}.$

1. Вычислим числитель: $|(-2)(5) + (8)(2) + (3)(3) - 15| = |-10 + 16 + 9 - 15| = |0| = 0.$

2. Вычислим знаменатель: $\sqrt{(-2)^2 + 8^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 64 + 9} = \sqrt{77}.$

Итак, расстояние $d = \frac{0}{\sqrt{77}} = 0$. Точка $A_4$ лежит на плоскости.

---

Ответы:

1. Уравнение плоскости: $-2x + 8y + 3z - 15 = 0.$
2. Уравнение прямой: $\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 2}{8} = \frac{z - 3}{3}.$
3. Расстояние от $A_4$ до плоскости: $d = 0 \; (\text{точка лежит на плоскости}).$

Есть вопросы или хотите детализировать решение? Вот 5 связанных вопросов:

1. Как найти уравнение плоскости, если известны три точки?
2. Как интерпретировать нормальный вектор плоскости?
3. Что такое каноническое уравнение прямой и где оно применяется?
4. Какова геометрическая интерпретация расстояния от точки до плоскости?
5. Могут ли точка и прямая быть одновременно перпендикулярны плоскости?

Совет: Всегда проверяйте взаимное расположение точки и плоскости, чтобы избежать ошибок при расчете расстояний.