Pendahuluan

Kita akan mencari persamaan gerak untuk sebuah pendulum sederhana, yaitu diferensial yang menjelaskan sudut $\theta(t)$ sebagai fungsi waktu. Kemudian, kita akan menunjukkan bahwa untuk sudut kecil ($\theta$ kecil), gerakan mendekati persamaan gerak harmonik sederhana, dan menyelesaikan $\theta(t)$ untuk kondisi awal tertentu.

---

Tahap 1: Analisis Gaya dan Hukum Newton

1. Pendulum sederhana:

   • Panjang tali: $L$,
   • Massa bob: $m$,
   • Percepatan gravitasi: $g$,
   • Sudut simpangan: $\theta(t)$.

2. Gaya pada pendulum: Gaya pemulih berasal dari komponen gravitasi, yaitu $F = -mg \sin\theta$. Persamaan gerak di sepanjang lintasan melingkar menjadi: $m L \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg \sin\theta.$

3. Sederhanakan: Dengan membagi $m$ dan membagi kedua sisi dengan $L$: $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0.$ Ini adalah persamaan diferensial non-linear untuk gerakan pendulum.

---

Tahap 2: Aproksimasi untuk $\theta$ Kecil

Untuk sudut kecil ($\theta \ll 1$ dalam radian), kita dapat menggunakan pendekatan: $\sin\theta \approx \theta.$ Sehingga persamaan menjadi: $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0.$

Ini adalah persamaan diferensial gerak harmonik sederhana: $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0,$ dengan: $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.$

---

Tahap 3: Solusi Umum Gerak Harmonik

Solusi persamaan diferensial ini adalah: $\theta(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t).$

Gunakan Kondisi Awal:

Diberikan kondisi awal:

1. $\theta(0) = \theta_0$,
2. $\frac{d\theta}{dt}\Big|_{t=0} = 0$.

Substitusi $t = 0$ ke dalam persamaan: $\theta(0) = A \cos(0) + B \sin(0) \implies A = \theta_0.$

Turunan pertama: $\frac{d\theta}{dt} = -A \omega \sin(\omega t) + B \omega \cos(\omega t).$ Substitusi $t = 0$: $\frac{d\theta}{dt}\Big|_{t=0} = -A \omega \sin(0) + B \omega \cos(0) \implies B = 0.$

Sehingga solusi akhirnya adalah: $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t).$

---

Kesimpulan

1. Persamaan gerak pendulum sederhana untuk sudut kecil adalah: $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0.$
2. Solusinya dalam bentuk gerak harmonik sederhana: $\theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} t\right).$

---

Apakah Anda ingin langkah lebih detail atau contoh numerik? Berikut beberapa pertanyaan terkait untuk eksplorasi lebih lanjut:

1. Bagaimana cara menentukan periode osilasi $T$ pendulum sederhana?
2. Apa yang terjadi jika sudut awal $\theta_0$ cukup besar sehingga $\sin\theta$ tidak bisa diaproksimasi?
3. Bagaimana pengaruh panjang $L$ terhadap frekuensi sudut $\omega$?
4. Bagaimana jika pendulum bergerak dalam medium dengan gesekan udara?
5. Bagaimana perbedaan gerak pendulum sederhana dengan pendulum fisik?

Tip: Selalu perhatikan unit $g$, $L$, dan $\theta$ untuk memastikan koherensi dimensi dalam persamaan gerak.