Um die Geschwindigkeit des Wagens zu berechnen, wenn er eine Höhe von $h = 16 \, \text{cm}$ erreicht hat, können wir das Prinzip der Energieerhaltung anwenden. Dabei wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, während der Wagen die Kuppe hochrollt.

Gegebene Größen:

• Masse des Wagens: $m = 60 \, \text{g} = 0,06 \, \text{kg}$
• Höhe am Anfang: $h_1 = 60 \, \text{cm} = 0,60 \, \text{m}$
• Höhe bei der gewünschten Geschwindigkeit: $h_2 = 16 \, \text{cm} = 0,16 \, \text{m}$
• Erdbeschleunigung: $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$

Ansatz: Energieerhaltungssatz

Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie konstant bleibt, solange keine Reibungsverluste vorliegen. Das bedeutet:

$E_{\text{pot,1}} + E_{\text{kin,1}} = E_{\text{pot,2}} + E_{\text{kin,2}}$

Da der Wagen am Anfang der Bewegung seine gesamte Energie in potenzieller Form besitzt, ist seine Anfangsgeschwindigkeit $v_1 = 0$. Somit vereinfacht sich die Gleichung zu:

$m \cdot g \cdot h_1 = m \cdot g \cdot h_2 + \frac{1}{2} m \cdot v^2$

Die Masse $m$ kürzt sich heraus:

$g \cdot h_1 = g \cdot h_2 + \frac{1}{2} v^2$

Umstellen nach $v$:

$v^2 = 2 \cdot g \cdot (h_1 - h_2)$

$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot (h_1 - h_2)}$

Einsetzen der Werte:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot (0,60 \, \text{m} - 0,16 \, \text{m})}$

$v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,44 \, \text{m}}$

$v = \sqrt{8,6352 \, \text{m}^2/\text{s}^2}$

$v \approx 2,94 \, \text{m/s}$

Ergebnis:

Die Geschwindigkeit des Wagens, wenn er eine Höhe von $16 \, \text{cm}$ erreicht hat, beträgt etwa $v \approx 2,94 \, \text{m/s}$.

Möchtest du eine detaillierte Erklärung zu einzelnen Schritten oder hast du noch Fragen dazu?

Weitere Fragen, die sich aus diesem Thema ergeben könnten:

1. Wie würde sich die Geschwindigkeit ändern, wenn die Reibung berücksichtigt würde?
2. Was passiert, wenn die Anfangshöhe des Wagens größer ist, zum Beispiel $h_1 = 80 \, \text{cm}$?
3. Wie berechnet sich die Geschwindigkeit des Wagens, wenn er von oben nach unten rollt?
4. Was wäre die kinetische Energie des Wagens bei einer Höhe von $h = 16 \, \text{cm}$?
5. Wie verändert sich die Geschwindigkeit, wenn die Masse des Wagens verdoppelt wird?

Tipp:

Beim Umgang mit Energieerhaltung in der Mechanik ist es oft nützlich, die Einheitensysteme konsistent zu halten (z.B. immer in Metern, Kilogramm und Sekunden), um die Berechnungen übersichtlicher zu machen.