Ein Wagen der Masse m=60g soll mit Schwung eine kuppe herauf rollen. Die Ebene hat eine Höhe h=60cm. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wagens wenn er eine Höhe h=16cm erreicht hat?

Um die Geschwindigkeit des Wagens zu berechnen, wenn er eine Höhe von \( h = 16 \, \text{cm} \) erreicht hat, können wir das Prinzip der Energieerhaltung anwenden. Dabei wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, während der Wagen die Kuppe hochrollt.

### Gegebene Größen:
- Masse des Wagens: \( m = 60 \, \text{g} = 0,06 \, \text{kg} \)
- Höhe am Anfang: \( h_1 = 60 \, \text{cm} = 0,60 \, \text{m} \)
- Höhe bei der gewünschten Geschwindigkeit: \( h_2 = 16 \, \text{cm} = 0,16 \, \text{m} \)
- Erdbeschleunigung: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)

### Ansatz: Energieerhaltungssatz
Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie konstant bleibt, solange keine Reibungsverluste vorliegen. Das bedeutet:

\[
E_{\text{pot,1}} + E_{\text{kin,1}} = E_{\text{pot,2}} + E_{\text{kin,2}}
\]

Da der Wagen am Anfang der Bewegung seine gesamte Energie in potenzieller Form besitzt, ist seine Anfangsgeschwindigkeit \( v_1 = 0 \). Somit vereinfacht sich die Gleichung zu:

\[
m \cdot g \cdot h_1 = m \cdot g \cdot h_2 + \frac{1}{2} m \cdot v^2
\]

Die Masse \( m \) kürzt sich heraus:

\[
g \cdot h_1 = g \cdot h_2 + \frac{1}{2} v^2
\]

Umstellen nach \( v \):

\[
v^2 = 2 \cdot g \cdot (h_1 - h_2)
\]

\[
v = \sqrt{2 \cdot g \cdot (h_1 - h_2)}
\]

### Einsetzen der Werte:

\[
v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot (0,60 \, \text{m} - 0,16 \, \text{m})}
\]

\[
v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,44 \, \text{m}}
\]

\[
v = \sqrt{8,6352 \, \text{m}^2/\text{s}^2}
\]

\[
v \approx 2,94 \, \text{m/s}
\]

### Ergebnis:
Die Geschwindigkeit des Wagens, wenn er eine Höhe von \( 16 \, \text{cm} \) erreicht hat, beträgt etwa \( v \approx 2,94 \, \text{m/s} \).

Möchtest du eine detaillierte Erklärung zu einzelnen Schritten oder hast du noch Fragen dazu?

### Weitere Fragen, die sich aus diesem Thema ergeben könnten:
1. Wie würde sich die Geschwindigkeit ändern, wenn die Reibung berücksichtigt würde?
2. Was passiert, wenn die Anfangshöhe des Wagens größer ist, zum Beispiel \( h_1 = 80 \, \text{cm} \)?
3. Wie berechnet sich die Geschwindigkeit des Wagens, wenn er von oben nach unten rollt?
4. Was wäre die kinetische Energie des Wagens bei einer Höhe von \( h = 16 \, \text{cm} \)?
5. Wie verändert sich die Geschwindigkeit, wenn die Masse des Wagens verdoppelt wird?

### Tipp:
Beim Umgang mit Energieerhaltung in der Mechanik ist es oft nützlich, die Einheitensysteme konsistent zu halten (z.B. immer in Metern, Kilogramm und Sekunden), um die Berechnungen übersichtlicher zu machen.

Learn how to calculate the speed of a 60g cart as it rolls uphill using the law of energy conservation. Given an initial height of 60cm and a final height of 16cm, find the velocity at the lower height. Suitable for students in Grades 9-11.

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