Tarkastellaan tilannetta, jossa sähköinen dipoli sijaitsee origossa $(0, 0)$ ja on suuntautunut $x$-akselille. Dipolilla on dipolimomentti $\mathbf{p}$, jonka suuruus on $p$, ja sen päissä on varaukset $+q$ ja $-q$. Käytämme seuraavaksi tätä tietoa apuna vastattaessa kysymyksiisi.

a) Dipolin aiheuttama kokonaispotentiaali $V(x, y)$

Sähköisen dipolin aiheuttama potentiaali $V$ voidaan laskea yksittäisten varausten aiheuttamien potentiaalien summana. Dipolilla on kaksi varausta: $+q$ ja $-q$.

Potentiaali kohdassa $(x, y)$ voidaan laskea seuraavasti:

1. Potentiaali pisteessä $(x, y)$, joka sijaitsee etäällä dipolista, voidaan laskea yksittäisten varausten potentiaaleista. Potentiaali dipolille muodostuu seuraavien termien summasta: $V(x, y) = \frac{k_e q}{r_+} - \frac{k_e q}{r_-}$ missä:

   • $k_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ on Coulombin vakio.
   • $r_+$ ja $r_-$ ovat etäisyydet pisteestä $(x, y)$ varausten $+q$ ja $-q$ sijaintipisteisiin.

2. Varaus $+q$ sijaitsee pisteessä $(a, 0)$ ja $-q$ pisteessä $(-a, 0)$, missä $2a$ on dipolin pituus.

Etäisyydet $r_+$ ja $r_-$ ovat: $r_+ = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}, \quad r_- = \sqrt{(x + a)^2 + y^2}$

Näin ollen potentiaalin lauseke on: $V(x, y) = \frac{k_e q}{\sqrt{(x - a)^2 + y^2}} - \frac{k_e q}{\sqrt{(x + a)^2 + y^2}}$

Tämä on dipolin aiheuttama kokonaispotentiaali pisteessä $(x, y)$.

b) Potentiaalin avulla sähkökenttävektori $\mathbf{E}(x, y)$

Sähkökenttävektori $\mathbf{E}(x, y)$ voidaan laskea potentiaalin gradientin avulla. Sähkökenttä ja potentiaali ovat yhteydessä seuraavasti: $\mathbf{E} = -\nabla V$ Missä $\nabla$ on gradienttioperaattori.

Sähkökenttävektori $\mathbf{E}(x, y)$ koostuu komponentteista $E_x$ ja $E_y$, jotka ovat potentiaalin osittaisderivaatat $x$- ja $y$-suunnassa: $E_x = -\frac{\partial V(x, y)}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial V(x, y)}{\partial y}$

Lasketaan ensin $E_x$ ja $E_y$.

1. Lasketaan osittaisderivaatat:

   $V(x, y) = \frac{k_e q}{\sqrt{(x - a)^2 + y^2}} - \frac{k_e q}{\sqrt{(x + a)^2 + y^2}}$

   Derivaatta $x$-suunnassa: $\frac{\partial V}{\partial x} = k_e q \left( \frac{x - a}{\left( (x - a)^2 + y^2 \right)^{3/2}} - \frac{x + a}{\left( (x + a)^2 + y^2 \right)^{3/2}} \right)$

   Derivaatta $y$-suunnassa: $\frac{\partial V}{\partial y} = k_e q \left( \frac{y}{\left( (x - a)^2 + y^2 \right)^{3/2}} - \frac{y}{\left( (x + a)^2 + y^2 \right)^{3/2}} \right)$

2. Sähkökenttävektorin komponentit: $E_x = - \frac{\partial V}{\partial x}, \quad E_y = - \frac{\partial V}{\partial y}$

Näin ollen sähkökenttävektorin komponentit $E_x$ ja $E_y$ voidaan laskea näiden osittaisderivaatan avulla. Koko sähkökenttä on vektorikenttä, jonka suuruus ja suunta voidaan tarkastella edelleen näiden komponenttien perusteella.

---

Jos haluat tarkempia laskuja tai selityksiä osittaisderivaatan laskemisesta, voin antaa ne tarkemmin! Onko jokin osa epäselvä tai haluaisitko jatkaa syvemmälle johonkin kohtaan?