Pour résoudre ce problème, commençons par analyser les différentes parties de l'énoncé.

1. Expression de $X_{eq}$ à l'équilibre

Nous avons un pendule élastique vertical. L'élément clé à l'équilibre est la position $X_{eq}$, qui est définie comme la position d'équilibre de la masse $M$. Cela correspond à la position où la force exercée par le ressort (proportionnelle à l'allongement $\Delta \ell = X - X_{eq}$) compense exactement la force gravitationnelle.

La force de rappel du ressort est donnée par : $F_{\text{ressort}} = -k \Delta \ell = -k(X - X_{eq})$ La force gravitationnelle est : $F_{\text{grav}} = M g$ À l'équilibre, ces deux forces doivent se compenser, donc : $-k(X_{eq} - X_{eq}) = - M g$ Cela donne : $k X_{eq} = M g$ d'où : $X_{eq} = \frac{M g}{k}$

2. Équation différentielle pour la fonction $X(t)$

Lorsque la masse est déplacée de sa position d'équilibre et laissée à se mouvoir, elle est soumise à la force de rappel du ressort et à la force de frottement (viscosité). La force de frottement est donnée par $\lambda \dot{X}(t)$, où $\dot{X}(t)$ est la vitesse de la masse.

L'équation du mouvement de la masse $M$ en prenant en compte la force de rappel et la force de frottement est donnée par la seconde loi de Newton : $M \ddot{X}(t) = -k(X - X_{eq}) - \lambda \dot{X}(t)$ Nous pouvons réécrire cela en fonction de $X_{eq}$ : $M \ddot{X}(t) = -k(X - \frac{M g}{k}) - \lambda \dot{X}(t)$ Cela peut être simplifié en : $M \ddot{X}(t) + \lambda \dot{X}(t) + k X(t) = M g$ Cette équation est l'équation du mouvement de la masse.

3. Système dynamique équivalent

L'équation différentielle que l'on obtient pour $X(t)$ est similaire à une équation du type : $\ddot{Y} + 2 \xi \omega_0 \dot{Y} + \omega_0^2 Y = 0$ où $\xi$ est le facteur d'amortissement, et $\omega_0$ est la fréquence propre du système. Cela correspond à un système amorti.

4. Réponse à l'oscillation avec une onde sismique

Enfin, si l'on soumet ce système à une onde sismique, la position $x_S$ du point de suspension varie selon la loi : $x_S = A \cos(\omega t)$ et la position de la masse $M$, $x_M$, dans le référentiel $\mathcal{R}_0$, est donnée par l'équation de mouvement sous l'influence de cette onde.

Si tu souhaites une explication plus détaillée pour chaque question, n'hésite pas à me le faire savoir. Est-ce que tu veux que je continue avec une des autres questions (Q8 à Q11) ou des détails supplémentaires sur un point particulier ?

Questions relatives :

1. Comment calculer la fréquence propre $\omega_0$ pour ce système ?
2. Quelle est la différence entre un système amorti et un système non amorti ?
3. Quelles sont les applications physiques de systèmes modélisés comme ce pendule élastique ?
4. Comment modéliser la réponse d'un système à un exciteur externe comme une onde sismique ?
5. Comment l'amortissement affecte-t-il les oscillations dans ce type de système ?

Astuce :

Lorsqu'on traite des systèmes amortis, il est souvent utile de les exprimer sous forme canonique avec des termes comme $\xi$ et $\omega_0$ pour comprendre les comportements asymptotiques de la solution (par exemple, oscillations amorties ou relaxation).