Ο πίνακας $A$ που δίνεται είναι:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Βήμα 1: Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα $A$ δίνεται από τον τύπο:

$p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$

όπου $\lambda$ είναι η ιδιοτιμή και $I$ είναι ο μοναδιαίος πίνακας. Οπότε υπολογίζουμε το $A - \lambda I$:

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 2 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$

Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι:

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 2 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$

Υπολογίζουμε την ορίζουσα:

$\det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(4 - \lambda) - 2 \cdot 2$ $= (3 - \lambda)(4 - \lambda) - 4$ $= 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 4$ $= \lambda^2 - 7\lambda + 8$

Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι:

$p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 8$

Βήμα 2: Υπολογισμός των ιδιοτιμών

Για να βρούμε τις ιδιοτιμές, λύνουμε την εξίσωση $p(\lambda) = 0$:

$\lambda^2 - 7\lambda + 8 = 0$

Η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$

Άρα οι ιδιοτιμές είναι:

$\lambda_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Οι ιδιοτιμές είναι:

$\lambda_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Βήμα 3: Υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων

Για κάθε ιδιοτιμή, θα βρούμε τα ιδιοδιανύσματα λύνοντας το σύστημα $(A - \lambda I)v = 0$.

Ιδιοτιμή $\lambda_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$:

Λύνουμε το σύστημα $(A - \lambda_1 I)v = 0$.

Ιδιοτιμή $\lambda_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$:

Λύνουμε το σύστημα $(A - \lambda_2 I)v = 0$.

Θέλεις να προχωρήσω στον υπολογισμό των ιδιοδιανυσμάτων ή έχεις ερωτήσεις;

5 Σχετικές Ερωτήσεις:

1. Πώς επηρεάζουν οι ιδιοτιμές την ιδιοστροφή του πίνακα;
2. Τι σημαίνουν γεωμετρικά τα ιδιοδιανύσματα;
3. Πώς χρησιμοποιούνται οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα σε εφαρμογές;
4. Τι είναι η διακρίνουσα και πώς σχετίζεται με τις ρίζες μιας εξίσωσης;
5. Πώς θα έβρισκες τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα για έναν πίνακα μεγαλύτερης διάστασης;

Συμβουλή: Για απλοποίηση του υπολογισμού των ιδιοδιανυσμάτων, μπορείς να εκμεταλλευτείς τις συμμετρίες του πίνακα.