Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan konsep vektor dan operasi dot product (perkalian skalar) dan cross product (perkalian vektor).

Diberikan dua vektor:

• Vektor pertama, $\vec{a}$, memiliki besar $8$ satuan dan arahnya ke utara.
• Vektor kedua, $\vec{b}$, memiliki besar $10$ satuan dan arahnya 60° terhadap arah utara (jadi ke barat miring).

a. Hitung $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (Dot Product)

Rumus untuk dot product antara dua vektor adalah:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| \cos \theta$

Di sini, $|a| = 8$ satuan, $|b| = 10$ satuan, dan sudut $\theta$ antara kedua vektor adalah 60°. Maka:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \times 10 \times \cos 60^\circ$

Kita tahu bahwa $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, jadi:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \times 10 \times \frac{1}{2} = 40$

Jadi, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 40$.

b. Hitung $\vec{a} \times \vec{b}$ (Cross Product)

Rumus untuk cross product antara dua vektor adalah:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |a| |b| \sin \theta$

Di sini, $|a| = 8$, $|b| = 10$, dan sudut antara kedua vektor $\theta = 60^\circ$. Maka:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \times 10 \times \sin 60^\circ$

Karena $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, maka:

$|\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}$

Jadi, besar dari $\vec{a} \times \vec{b}$ adalah $40\sqrt{3}$.

Arah dari $\vec{a} \times \vec{b}$ mengikuti aturan tangan kanan, yang dalam kasus ini akan mengarah tegak lurus terhadap bidang utara-barat (arah ke atas atau ke bawah tergantung definisi sistem koordinat).

Kesimpulan:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 40$
• $|\vec{a} \times \vec{b}| = 40\sqrt{3}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperluas pemahaman:

1. Bagaimana hubungan antara dot product dan sudut antara dua vektor?
2. Apa perbedaan utama antara dot product dan cross product?
3. Bagaimana cara menentukan arah cross product dari dua vektor?
4. Apa hasil cross product jika kedua vektor sejajar?
5. Apa arti geometris dari hasil dot product dan cross product?

Tip: Ingat bahwa dot product menghasilkan nilai skalar, sedangkan cross product menghasilkan vektor baru dengan arah yang ditentukan oleh aturan tangan kanan.