Se tiene un tablero cuadrado cuadriculado de 5 x 5 y fichas rectangulares de 2 x 1; cada
ficha cabe exactamente en dos casillas adyacentes del tablero.
Las fichas se colocan en el tablero ocupando exactamente dos casillas adyacentes. El tablero está
dominado cuando ya no hay espacio para colocar más fichas.
¿Cuál es el menor número de fichas que se debe colocar para dominar el tablero? Explicar por qué
es imposible dominar el tablero con menos fichas.

Para resolver este problema, necesitamos determinar el menor número de fichas rectangulares de 2 x 1 que deben colocarse en un tablero cuadrado de 5 x 5 para dominarlo, es decir, cubrirlo de tal forma que no quede espacio para más fichas.

### Paso 1: Entender la cobertura con las fichas de 2 x 1
Cada ficha cubre exactamente dos casillas adyacentes del tablero. Como el tablero tiene 5 x 5 casillas, hay un total de 25 casillas en el tablero.

### Paso 2: Imposibilidad de cubrir completamente el tablero
El total de casillas es impar (25), y como cada ficha cubre exactamente dos casillas, no es posible cubrir todas las casillas del tablero con fichas de 2 x 1 sin dejar alguna casilla sin cubrir. Esto se debe a que 25 es un número impar y cada ficha cubre dos casillas, lo que siempre ocupará un número par de casillas. Por lo tanto, siempre habrá al menos una casilla que no se puede cubrir completamente.

### Paso 3: Buscar el menor número de fichas para dominar el tablero
La clave está en entender qué significa "dominar" el tablero: que ya no queden espacios para colocar más fichas, aunque no necesariamente cubramos todas las casillas.

- Si intentamos colocar la mayor cantidad de fichas, el objetivo es usar las fichas de tal manera que cubran la mayor cantidad de espacios posibles sin dejar oportunidades para colocar más fichas.
- Dado que el tablero tiene 25 casillas, el mayor número de casillas que podemos cubrir con fichas de 2 x 1 es 24, dejando una sola casilla libre (porque 25 - 24 = 1).
  
Así, el menor número de fichas necesario para dominar el tablero es aquel que cubra 24 casillas, lo cual requiere \(\frac{24}{2} = 12\) fichas.

### Paso 4: Justificación de por qué no se puede dominar con menos fichas
Si colocáramos menos de 12 fichas, cubriríamos menos de 24 casillas, lo que dejaría suficientes espacios para colocar al menos una ficha más, por lo que el tablero no estaría dominado. Con 12 fichas, cubrimos exactamente 24 casillas, dejando una casilla libre, y no quedaría espacio suficiente para colocar más fichas, lo que cumple con la definición de dominar el tablero.

### Conclusión:
El menor número de fichas que se debe colocar para dominar el tablero es **12**. No es posible dominar el tablero con menos fichas, ya que siempre quedaría espacio suficiente para colocar al menos una ficha más si se utilizan menos de 12.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? ¿Tienes alguna duda adicional?

Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas para profundizar más en este tipo de problemas:

1. ¿Qué sucede si el tablero es de 6 x 6? ¿Cuántas fichas serían necesarias para dominarlo?
2. ¿Cómo cambiaría la solución si en lugar de fichas de 2 x 1 tuviéramos fichas de 3 x 1?
3. ¿Qué ocurre si el tablero tiene un número par de casillas, como un 4 x 4?
4. ¿Se puede dominar el tablero si permitimos rotar las fichas en cualquier dirección?
5. ¿Qué pasa si se permite colocar fichas de 1 x 1 junto con las de 2 x 1?

**Tip:** Al resolver problemas de dominación de tableros, siempre conviene considerar la paridad (impar o par) de la cantidad total de casillas y la cantidad de casillas que cubre cada ficha.

Se tiene un tablero cuadrado cuadriculado de 5 x 5 y fichas rectangulares de 2 x 1; cada ficha cabe exactamente en dos casillas adyacentes del tablero. Las fichas se colocan en el tablero ocupando exactamente dos casillas adyacentes. El tablero está dominado cuando ya no hay espacio para colocar más fichas. ¿Cuál es el menor número de fichas que se debe colocar para dominar el tablero? Explicar por qué es imposible dominar el tablero con menos fichas.

Discover the minimum number of 2x1 rectangular tiles needed to dominate a 5x5 grid board. Explore the reasoning behind why it is impossible to fully cover the board due to parity issues, and learn how 12 tiles ensure no more pieces can be placed. Ideal for high school students interested in combinatorial math and tiling puzzles.

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