¡Gracias por aclarar! Parece que tienes una función donde la raíz cuadrada cubre toda la expresión, que sería algo así:

$f(x) = \sqrt{\frac{-x + 1}{x + 4}}$

Si esta interpretación es correcta, vamos a analizar la función.

1. Dominio de la función:

El dominio de $f(x)$ se obtiene determinando dónde la expresión dentro de la raíz cuadrada es mayor o igual que 0 (porque no podemos tener raíces de números negativos en los números reales) y verificando que el denominador no sea cero.

$\frac{-x + 1}{x + 4} \geq 0$

Paso 1: Determinamos los puntos críticos.

Los puntos donde el numerador o denominador se anula son:

• $-x + 1 = 0$ ⟶ $x = 1$
• $x + 4 = 0$ ⟶ $x = -4$

Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos:

• $(-\infty, -4)$
• $(-4, 1)$
• $(1, \infty)$

Paso 2: Analizamos el signo de la fracción en cada intervalo.

Seleccionamos un valor de prueba en cada intervalo y evaluamos el signo de la expresión $\frac{-x + 1}{x + 4}$:

• En $(-\infty, -4)$, tomamos $x = -5$: $\frac{-(-5) + 1}{-5 + 4} = \frac{6}{-1} = -6 \quad (\text{Negativo})$

• En $(-4, 1)$, tomamos $x = 0$: $\frac{-(0) + 1}{0 + 4} = \frac{1}{4} \quad (\text{Positivo})$

• En $(1, \infty)$, tomamos $x = 2$: $\frac{-(2) + 1}{2 + 4} = \frac{-1}{6} \quad (\text{Negativo})$

Paso 3: Construimos el dominio.

La fracción es mayor o igual que 0 en el intervalo $(-4, 1]$. Además, el punto $x = -4$ no está en el dominio porque el denominador se anula allí.

Por lo tanto, el dominio de $f(x)$ es: $x \in (-4, 1]$

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2. Gráfica de la función

La función tiene una raíz cuadrada, así que su valor siempre será positivo o cero en el dominio permitido. ¿Te gustaría que genere la gráfica?

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¿Es esta la función correcta? Si es así, ¿quieres que resuelva otros aspectos como asíntotas, derivada o gráfica?

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5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el rango de esta función?
2. ¿Cómo se encuentra la derivada de esta función?
3. ¿Qué ocurre en $x = -4$ y cómo se interpreta en la gráfica?
4. ¿Podemos extender el dominio si trabajamos con números complejos?
5. ¿Cómo afecta la raíz cuadrada al comportamiento de la función?

💡 Tip: Siempre verifica el dominio antes de trabajar con funciones que tienen raíces o fracciones para evitar errores.