Per determinare il dominio della funzione:

$y = \frac{\sqrt{2x - x^2} - |x - 2|}{x^2 - 2}$

dobbiamo analizzare i vincoli imposti da ciascun termine. Procediamo passo per passo.

1. Radice quadrata: $\sqrt{2x - x^2}$

La radice quadrata è definita solo quando il radicando è maggiore o uguale a zero: $2x - x^2 \geq 0$ Questa è una disequazione di secondo grado. Possiamo riscriverla come: $x(2 - x) \geq 0$ Quindi le soluzioni sono per $x \in [0, 2]$, poiché il prodotto di due fattori è maggiore o uguale a zero solo quando entrambi sono positivi o negativi.

2. Valore assoluto: $|x - 2|$

Il valore assoluto è definito per ogni $x$, quindi non introduce nuove limitazioni al dominio.

3. Denominatore: $x^2 - 2$

Il denominatore non deve essere uguale a zero, quindi: $x^2 - 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm \sqrt{2}$ Ciò significa che $x$ non può essere uguale a $\sqrt{2}$ o $-\sqrt{2}$.

Dominio finale

Considerando tutti i vincoli:

1. $x \in [0, 2]$ dalla radice quadrata.
2. $x \neq \pm \sqrt{2}$ dal denominatore.

Il dominio della funzione è: $x \in [0, 2] \setminus \{\sqrt{2}\}$

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Vuoi approfondire qualche passaggio o hai domande? Ecco alcune domande correlate:

1. Come risolvere una disequazione di secondo grado?
2. Come trattare il valore assoluto in una funzione?
3. Perché il denominatore di una frazione non può essere zero?
4. Quali sono le proprietà della radice quadrata di espressioni algebriche?
5. Qual è l'impatto delle discontinuità su una funzione?

Tip: Quando si risolvono disequazioni quadratiche, considera sempre di scomporre il polinomio in fattori per analizzare meglio i segni!