Math Problem Statement

DÈterminer líensemble de dÈÖnition I dearcsin

x + 1

x

1

Solution

L'ensemble de définition d'une fonction correspond à l'ensemble des valeurs pour lesquelles cette fonction est bien définie.

Ici, la fonction est f(x)=arcsin(x+1x)f(x) = \arcsin \left( \frac{x+1}{x} \right).

Rappel :

La fonction arcsin(u)\arcsin(u) est définie pour uu dans l'intervalle [1,1][-1, 1]. Cela signifie qu'il faut que :

1x+1x1-1 \leq \frac{x+1}{x} \leq 1

Nous allons maintenant résoudre cette double inégalité pour trouver l'ensemble de définition de la fonction.

Étape 1 : Résoudre l'inégalité 1x+1x-1 \leq \frac{x+1}{x}

1x+1xeˊquivaut aˋxx+1-1 \leq \frac{x+1}{x} \quad \text{équivaut à} \quad -x \leq x+1 2x1doncx12-2x \leq 1 \quad \text{donc} \quad x \geq -\frac{1}{2}

Étape 2 : Résoudre l'inégalité x+1x1\frac{x+1}{x} \leq 1

x+1x1eˊquivaut aˋx+1x\frac{x+1}{x} \leq 1 \quad \text{équivaut à} \quad x+1 \leq x Cela n'est pas possible, donc cette inégalité ne donne pas d'information supplémentaire.

Conclusion :

L'ensemble de définition est x12x \geq -\frac{1}{2}, à l'exception de x=0x = 0 car il annule le dénominateur de la fraction.

Donc, l'ensemble de définition est :

Df=]12,0[]0,+[D_f = ]-\frac{1}{2}, 0[ \cup ]0, +\infty[

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?


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Tip : Lors de la résolution d'inégalités, faites attention aux valeurs qui annulent le dénominateur, car elles ne sont pas dans l'ensemble de définition.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Trigonometry
Inverse Trigonometric Functions
Inequalities
Domain of Functions

Formulas

arcsin(u) is defined for u ∈ [-1, 1]
Inequality involving fractions: -1 ≤ (x+1)/x ≤ 1

Theorems

Definition of the domain of arcsin
Inequality resolution

Suitable Grade Level

Grades 10-12