5. Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo n ∈ N c) 56 | 13**(2n) + 28n
2 − 84n − 1,

Vamos a probar que \( 56 \mid 13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \) para todo \( n \in \mathbb{N} \). Esto significa que debemos demostrar que la expresión es divisible entre 56 para todo \( n \in \mathbb{N} \).

### Estrategia
Para probar que una expresión es divisible por 56, podemos descomponer 56 en sus factores primos:
\[
56 = 2^3 \cdot 7
\]
Por lo tanto, la expresión debe ser divisible tanto por 8 como por 7. Demostraremos ambas divisibilidades por separado.

### 1. Divisibilidad por 8

Primero, probemos que \( 13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \) es divisible por 8. Para hacerlo, observemos las potencias de 13 módulo 8:
\[
13 \equiv 5 \pmod{8}
\]
Entonces, consideremos las potencias de 13 módulo 8:
\[
13^2 \equiv 5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{8}
\]
\[
13^{2n} \equiv 1^n = 1 \pmod{8} \quad \text{para todo } n \geq 1
\]
Por lo tanto:
\[
13^{2n} \equiv 1 \pmod{8}
\]

Ahora, consideremos el resto de la expresión \( 28n^2 - 84n - 1 \mod 8 \). Sabemos que:
\[
28n^2 \equiv 4n^2 \pmod{8} \quad \text{(ya que } 28 \equiv 4 \pmod{8})
\]
\[
84n \equiv 4n \pmod{8} \quad \text{(ya que } 84 \equiv 4 \pmod{8})
\]
Por lo tanto, la expresión completa módulo 8 es:
\[
13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \equiv 1 + 4n^2 - 4n - 1 \equiv 4n^2 - 4n \pmod{8}
\]
Factoremos \( 4n(n - 1) \), lo cual es divisible por 8 para todo \( n \) ya que \( n(n - 1) \) es siempre un número par. Entonces:
\[
13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \equiv 0 \pmod{8}
\]

### 2. Divisibilidad por 7

Ahora probemos que \( 13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \) es divisible por 7. Primero, calculemos \( 13 \mod 7 \):
\[
13 \equiv -1 \pmod{7}
\]
Por lo tanto:
\[
13^{2n} \equiv (-1)^{2n} = 1 \pmod{7} \quad \text{para todo } n
\]
Entonces:
\[
13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \equiv 1 + 0n^2 - 0n - 1 \equiv 0 \pmod{7}
\]

### Conclusión
Hemos probado que la expresión \( 13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \) es divisible tanto por 8 como por 7, por lo que es divisible por 56 para todo \( n \in \mathbb{N} \). Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

---

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se podría probar la divisibilidad por otro número compuesto?
2. ¿Qué sucede si cambiamos \( 13^{2n} \) por \( 11^{2n} \) en la expresión?
3. ¿Cómo afecta la elección de \( n \) en la factorización \( n(n-1) \)?
4. ¿Podemos usar otro método para probar la divisibilidad, como inducción matemática?
5. ¿Qué otras propiedades de divisibilidad son útiles en este contexto?

### Tip:
Cuando trabajas con divisibilidad, descomponer el número en factores primos te permite abordar cada parte de manera más manejable.

Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo n ∈ N c) 56 | 13^(2n) + 28n^2 − 84n − 1

Explore the proof that 56 divides the expression 13^(2n) + 28n^2 − 84n − 1 for all n ∈ N. Learn about prime factorization, modular arithmetic, and divisibility theorems used in this solution. This problem is suitable for advanced high school or undergraduate math students.

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