Vamos a probar que $56 \mid 13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Esto significa que debemos demostrar que la expresión es divisible entre 56 para todo $n \in \mathbb{N}$.

Estrategia

Para probar que una expresión es divisible por 56, podemos descomponer 56 en sus factores primos: $56 = 2^3 \cdot 7$ Por lo tanto, la expresión debe ser divisible tanto por 8 como por 7. Demostraremos ambas divisibilidades por separado.

1. Divisibilidad por 8

Primero, probemos que $13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1$ es divisible por 8. Para hacerlo, observemos las potencias de 13 módulo 8: $13 \equiv 5 \pmod{8}$ Entonces, consideremos las potencias de 13 módulo 8: $13^2 \equiv 5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{8}$ $13^{2n} \equiv 1^n = 1 \pmod{8} \quad \text{para todo } n \geq 1$ Por lo tanto: $13^{2n} \equiv 1 \pmod{8}$

Ahora, consideremos el resto de la expresión $28n^2 - 84n - 1 \mod 8$. Sabemos que: $28n^2 \equiv 4n^2 \pmod{8} \quad \text{(ya que } 28 \equiv 4 \pmod{8})$ $84n \equiv 4n \pmod{8} \quad \text{(ya que } 84 \equiv 4 \pmod{8})$ Por lo tanto, la expresión completa módulo 8 es: $13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \equiv 1 + 4n^2 - 4n - 1 \equiv 4n^2 - 4n \pmod{8}$ Factoremos $4n(n - 1)$, lo cual es divisible por 8 para todo $n$ ya que $n(n - 1)$ es siempre un número par. Entonces: $13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \equiv 0 \pmod{8}$

2. Divisibilidad por 7

Ahora probemos que $13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1$ es divisible por 7. Primero, calculemos $13 \mod 7$: $13 \equiv -1 \pmod{7}$ Por lo tanto: $13^{2n} \equiv (-1)^{2n} = 1 \pmod{7} \quad \text{para todo } n$ Entonces: $13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1 \equiv 1 + 0n^2 - 0n - 1 \equiv 0 \pmod{7}$

Conclusión

Hemos probado que la expresión $13^{2n} + 28n^2 - 84n - 1$ es divisible tanto por 8 como por 7, por lo que es divisible por 56 para todo $n \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

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¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se podría probar la divisibilidad por otro número compuesto?
2. ¿Qué sucede si cambiamos $13^{2n}$ por $11^{2n}$ en la expresión?
3. ¿Cómo afecta la elección de $n$ en la factorización $n(n-1)$?
4. ¿Podemos usar otro método para probar la divisibilidad, como inducción matemática?
5. ¿Qué otras propiedades de divisibilidad son útiles en este contexto?

Tip:

Cuando trabajas con divisibilidad, descomponer el número en factores primos te permite abordar cada parte de manera más manejable.