Para hallar la función $\frac{f}{g}(x)$ y su dominio, primero necesitamos dividir las dos funciones dadas:

1. La función $f(x) = \frac{x}{x-6}$
2. La función $g(x) = \frac{9}{x+1}$

Paso 1: Dividir $f(x)$ entre $g(x)$

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{x}{x-6}}{\frac{9}{x+1}}$

Para dividir estas fracciones, multiplicamos por el inverso de $g(x)$:

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x}{x-6} \times \frac{x+1}{9} = \frac{x(x+1)}{9(x-6)}$

Paso 2: Simplificar la expresión

No hay más simplificaciones posibles, por lo que la expresión simplificada de $\frac{f}{g}(x)$ es:

$\frac{f}{g}(x) = \frac{x(x+1)}{9(x-6)}$

Paso 3: Determinar el dominio

Debemos excluir los valores de $x$ que hagan que el denominador sea igual a cero, ya que no podemos dividir entre cero. Esto ocurre cuando:

1. $x - 6 = 0$, lo que implica $x = 6$.
2. $x + 1 = 0$, lo que implica $x = -1$ (porque en la función original $g(x) = \frac{9}{x+1}$, $x \neq -1$).

Por lo tanto, el dominio de $\frac{f}{g}(x)$ es:

$D = (-\infty, -1) \cup (-1, 6) \cup (6, \infty)$

Respuesta final:

$\frac{f}{g}(x) = \frac{x(x+1)}{9(x-6)}$

El dominio es $(-\infty, -1) \cup (-1, 6) \cup (6, \infty)$.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para seguir practicando:

1. ¿Cómo se dividen fracciones complejas en álgebra?
2. ¿Cómo influye el análisis de los puntos de discontinuidad en el dominio de una función racional?
3. ¿Qué sucede si en lugar de dividir las funciones, las multiplicamos?
4. ¿Qué métodos existen para encontrar el dominio de funciones más complejas?
5. ¿Cómo se simplifican expresiones algebraicas que contienen raíces cuadradas?

Tip: Recuerda que cuando trabajes con funciones racionales, siempre debes verificar si existen valores que anulen el denominador para determinar el dominio.