La distance $d$ d'un point $P(x_1, y_1, z_1)$ à un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ est donnée par la formule suivante :

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Ici, le plan a pour équation $2x - y + z = 7$, ce qui peut être réécrit comme $2x - y + z - 7 = 0$. Les coefficients sont donc $a = 2$, $b = -1$, $c = 1$, et $d = -7$.

Le point donné est $P(1, 0, -1)$. Appliquons la formule :

$d = \frac{|2(1) - 1(0) + 1(-1) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|2 + 0 - 1 - 7|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|2 - 1 - 7|}{\sqrt{6}} = \frac{|-6|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$

Donc, la distance du point $(1, 0, -1)$ au plan $2x - y + z = 7$ est $\sqrt{6}$.

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Questions supplémentaires :

1. Comment peut-on trouver l’équation d’un plan passant par un point et perpendiculaire à un vecteur donné ?
2. Comment calculer la distance entre deux points dans l’espace 3D ?
3. Quelle est la différence entre la forme cartésienne et la forme paramétrique d’un plan ?
4. Comment déterminer si un point appartient à un plan donné ?
5. Quelles sont les applications de la distance entre un point et un plan en physique ou en ingénierie ?

Astuce :

Lors de la résolution de problèmes de distance dans l’espace, il est important de bien identifier les coefficients de l’équation du plan et de s'assurer d'utiliser la bonne formule pour éviter les erreurs.