La distance du point (1, 0, −1) au plan d’´equation 2x − y + z = 7 est:

La distance \( d \) d'un point \( P(x_1, y_1, z_1) \) à un plan d'équation \( ax + by + cz + d = 0 \) est donnée par la formule suivante :

\[
d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
\]

Ici, le plan a pour équation \( 2x - y + z = 7 \), ce qui peut être réécrit comme \( 2x - y + z - 7 = 0 \). Les coefficients sont donc \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \), et \( d = -7 \).

Le point donné est \( P(1, 0, -1) \). Appliquons la formule :

\[
d = \frac{|2(1) - 1(0) + 1(-1) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}}
\]

\[
d = \frac{|2 + 0 - 1 - 7|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|2 - 1 - 7|}{\sqrt{6}} = \frac{|-6|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}
\]

Donc, la distance du point \( (1, 0, -1) \) au plan \( 2x - y + z = 7 \) est \( \sqrt{6} \).

### Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment peut-on trouver l’équation d’un plan passant par un point et perpendiculaire à un vecteur donné ?
2. Comment calculer la distance entre deux points dans l’espace 3D ?
3. Quelle est la différence entre la forme cartésienne et la forme paramétrique d’un plan ?
4. Comment déterminer si un point appartient à un plan donné ?
5. Quelles sont les applications de la distance entre un point et un plan en physique ou en ingénierie ?

### Astuce :
Lors de la résolution de problèmes de distance dans l’espace, il est important de bien identifier les coefficients de l’équation du plan et de s'assurer d'utiliser la bonne formule pour éviter les erreurs.

La distance du point (1, 0, −1) au plan d’équation 2x − y + z = 7 est:

Learn how to calculate the distance between the point (1, 0, -1) and the plane with equation 2x - y + z = 7. This detailed solution includes the step-by-step use of the point-to-plane distance formula. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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