Die Aufgabe besteht darin, den Abstand des Punktes $P(5, -2, 3)$ von der Geraden $g$, deren Parametergleichung gegeben ist, mithilfe einer Hilfsebene zu bestimmen.

Die Gerade $g$ ist durch die Gleichung

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

beschrieben.

Schritt-für-Schritt Lösung:

1. Richtungsvektor der Geraden: Der Richtungsvektor der Geraden $\vec{v}_g$ ist: $\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. Vektor von einem Punkt auf der Geraden zu $P$: Der Punkt $P_0$ auf der Geraden ist der Stützvektor $\vec{p}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$. Der Verbindungsvektor $\vec{p_0P}$ vom Punkt $P_0$ zum Punkt $P(5, -2, 3)$ ist: $\vec{p_0P} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. Abstandsformel: Der Abstand eines Punktes $P$ von einer Geraden $g$ kann durch die folgende Formel berechnet werden: $d = \frac{\|\vec{p_0P} \times \vec{v}_g\|}{\|\vec{v}_g\|}$ Hierbei ist $\vec{p_0P}$ der Vektor vom Punkt auf der Geraden zu $P$ und $\vec{v}_g$ der Richtungsvektor der Geraden.

4. Kreuzprodukt $\vec{p_0P} \times \vec{v}_g$: Das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{p_0P} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist:

   = \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ -(3 - 3) \\ -3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$$

5. Betrag des Kreuzprodukts: Der Betrag des Kreuzprodukts ist: $\|\vec{p_0P} \times \vec{v}_g\| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

6. Länge des Richtungsvektors $\vec{v}_g$: Der Betrag des Richtungsvektors $\vec{v}_g$ ist: $\|\vec{v}_g\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

7. Abstand: Der Abstand $d$ des Punktes $P$ von der Geraden ist: $d = \frac{\|\vec{p_0P} \times \vec{v}_g\|}{\|\vec{v}_g\|} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

Der Abstand des Punktes $P(5, -2, 3)$ von der Geraden $g$ beträgt also:

$d = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

Hast du dazu Fragen oder möchtest du noch weitere Details wissen?

5 Vertiefungsfragen:

1. Wie berechnet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren?
2. Wieso wird die Länge des Richtungsvektors benötigt, um den Abstand zu berechnen?
3. Was ist die geometrische Bedeutung des Kreuzprodukts in diesem Zusammenhang?
4. Wie verändert sich der Abstand, wenn der Punkt $P$ auf der Geraden liegt?
5. Was ist der Unterschied zwischen dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt?

Tipp:

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt immer einen Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren steht.