Math Problem Statement
Сколько слагаемых содержит СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма), построенная по функции: f(1,1,1) = f(1,0,1)=f(1,0,1) = 0, для всех остальных наборов аргументов f= 1.
Solution
Чтобы определить, сколько слагаемых содержит совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) для данной функции, выполним следующие шаги:
1. Анализ задачи:
Функция задана тремя аргументами , и для некоторых комбинаций аргументов она равна . Для всех остальных наборов аргументов . Таким образом, задана обратная информация о значениях функции. Для составления СДНФ нам нужны те наборы, где .
- ,
- (задано дважды — один набор),
- Остальные наборы ().
Количество возможных наборов аргументов для трёх переменных :
.
2. Перечислим все наборы аргументов:
Наборы и значения функции (по условию):
(0, 0, 0) & : f = 1, \\ (0, 0, 1) & : f = 1, \\ (0, 1, 0) & : f = 1, \\ (0, 1, 1) & : f = 1, \\ (1, 0, 0) & : f = 1, \\ (1, 0, 1) & : f = 0, \\ (1, 1, 0) & : f = 1, \\ (1, 1, 1) & : f = 0. \end{aligned}$$ ### 3. **Находим наборы, где $$f = 1$$:** Эти наборы: $$\{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0) \}.$$ Их всего **6 наборов**. --- ### 4. **Строим СДНФ:** Каждый набор, где $$f = 1$$, добавляет одно слагаемое к СДНФ. Слагаемое записывается как конъюнкция переменных или их отрицаний, которые описывают данный набор. Например: - Для набора $$(0, 0, 0)$$: $$\neg x_1 \land \neg x_2 \land \neg x_3$$, - Для набора $$(0, 0, 1)$$: $$\neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3$$, - Для набора $$(0, 1, 0)$$: $$\neg x_1 \land x_2 \land \neg x_3$$, - Для набора $$(0, 1, 1)$$: $$\neg x_1 \land x_2 \land x_3$$, - Для набора $$(1, 0, 0)$$: $$x_1 \land \neg x_2 \land \neg x_3$$, - Для набора $$(1, 1, 0)$$: $$x_1 \land x_2 \land \neg x_3$$. --- ### 5. **Результат:** СДНФ содержит **6 слагаемых**. --- Если нужно, я могу подробно записать окончательное выражение для СДНФ. Хотите уточнить детали? --- ### Вопросы для размышления: 1. Что такое СДНФ и как она отличается от СКНФ (совершенной конъюнктивной нормальной формы)? 2. Какую роль играет количество переменных в росте количества возможных слагаемых в СДНФ? 3. Как можно проверить правильность построения СДНФ? 4. Почему важно исключить наборы, где $$f = 0$$, из СДНФ? 5. Как можно автоматизировать построение СДНФ для функций с большим числом переменных? --- ### Совет: Для упрощения построения СДНФ или работы с логическими функциями полезно использовать **карты Карно**, которые визуализируют минимизацию логических выражений.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Boolean Algebra
Disjunctive Normal Form (DNF)
Truth Tables
Logical Functions
Formulas
2^n for possible argument sets in Boolean functions
Theorems
Disjunctive Normal Form construction
Truth table interpretation
Suitable Grade Level
Grades 10-12