Math Problem Statement

Сколько слагаемых содержит СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма), построенная по функции: f(1,1,1) = f(1,0,1)=f(1,0,1) = 0, для всех остальных наборов аргументов f= 1.

Solution

Чтобы определить, сколько слагаемых содержит совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) для данной функции, выполним следующие шаги:


1. Анализ задачи:

Функция задана тремя аргументами f(x1,x2,x3)f(x_1, x_2, x_3), и для некоторых комбинаций аргументов она равна 00. Для всех остальных наборов аргументов f=1f = 1. Таким образом, задана обратная информация о значениях функции. Для составления СДНФ нам нужны те наборы, где f=1f = 1.

  • f(1,1,1)=0f(1, 1, 1) = 0,
  • f(1,0,1)=0f(1, 0, 1) = 0 (задано дважды — один набор),
  • Остальные наборы (f=1f = 1).

Количество возможных наборов аргументов для трёх переменных x1,x2,x3x_1, x_2, x_3:
23=82^3 = 8.

2. Перечислим все наборы аргументов:

Наборы и значения функции (по условию):

(0, 0, 0) & : f = 1, \\ (0, 0, 1) & : f = 1, \\ (0, 1, 0) & : f = 1, \\ (0, 1, 1) & : f = 1, \\ (1, 0, 0) & : f = 1, \\ (1, 0, 1) & : f = 0, \\ (1, 1, 0) & : f = 1, \\ (1, 1, 1) & : f = 0. \end{aligned}$$ ### 3. **Находим наборы, где $$f = 1$$:** Эти наборы: $$\{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0) \}.$$ Их всего **6 наборов**. --- ### 4. **Строим СДНФ:** Каждый набор, где $$f = 1$$, добавляет одно слагаемое к СДНФ. Слагаемое записывается как конъюнкция переменных или их отрицаний, которые описывают данный набор. Например: - Для набора $$(0, 0, 0)$$: $$\neg x_1 \land \neg x_2 \land \neg x_3$$, - Для набора $$(0, 0, 1)$$: $$\neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3$$, - Для набора $$(0, 1, 0)$$: $$\neg x_1 \land x_2 \land \neg x_3$$, - Для набора $$(0, 1, 1)$$: $$\neg x_1 \land x_2 \land x_3$$, - Для набора $$(1, 0, 0)$$: $$x_1 \land \neg x_2 \land \neg x_3$$, - Для набора $$(1, 1, 0)$$: $$x_1 \land x_2 \land \neg x_3$$. --- ### 5. **Результат:** СДНФ содержит **6 слагаемых**. --- Если нужно, я могу подробно записать окончательное выражение для СДНФ. Хотите уточнить детали? --- ### Вопросы для размышления: 1. Что такое СДНФ и как она отличается от СКНФ (совершенной конъюнктивной нормальной формы)? 2. Какую роль играет количество переменных в росте количества возможных слагаемых в СДНФ? 3. Как можно проверить правильность построения СДНФ? 4. Почему важно исключить наборы, где $$f = 0$$, из СДНФ? 5. Как можно автоматизировать построение СДНФ для функций с большим числом переменных? --- ### Совет: Для упрощения построения СДНФ или работы с логическими функциями полезно использовать **карты Карно**, которые визуализируют минимизацию логических выражений.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Boolean Algebra
Disjunctive Normal Form (DNF)
Truth Tables
Logical Functions

Formulas

2^n for possible argument sets in Boolean functions

Theorems

Disjunctive Normal Form construction
Truth table interpretation

Suitable Grade Level

Grades 10-12