Для нахождения направляющего вектора прямой, заданной системой двух линейных уравнений:

$2x - z + 5 = 0$ $5x + 6y + 3 = 0$

мы будем рассматривать прямую, которая является пересечением двух плоскостей, заданных этими уравнениями.

Шаг 1: Привести систему к виду, удобному для поиска направляющего вектора

Сначала выразим переменные в одном уравнении через другие, чтобы найти параметрическое представление прямой.

1. Из первого уравнения $2x - z + 5 = 0$ выразим $z$:

$z = 2x + 5$

2. Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение:

$5x + 6y + 3 = 0$

Решаем его относительно $y$:

$6y = -5x - 3$ $y = -\frac{5}{6}x - \frac{1}{2}$

Шаг 2: Параметрическое уравнение прямой

Теперь у нас есть выражения для $y$ и $z$ через $x$. Параметризуем прямую, вводя параметр $t$ для $x$:

$x = t$ $y = -\frac{5}{6}t - \frac{1}{2}$ $z = 2t + 5$

Таким образом, параметрическое уравнение прямой будет:

$(x, y, z) = (t, -\frac{5}{6}t - \frac{1}{2}, 2t + 5)$

Шаг 3: Направляющий вектор

Направляющий вектор прямой можно найти, взяв коэффициенты при $t$ в параметрическом уравнении:

$\vec{v} = (1, -\frac{5}{6}, 2)$

Таким образом, направляющий вектор прямой:

$\vec{v} = (1, -\frac{5}{6}, 2)$

Ответ:

Направляющий вектор прямой: $\vec{v} = (1, -\frac{5}{6}, 2)$.

---

Хотите ли вы увидеть подробности решения или есть дополнительные вопросы?

Вот несколько дополнительных вопросов, которые могут вас заинтересовать:

1. Как можно использовать направляющий вектор для нахождения уравнения прямой в другом виде (например, через параметрическое или каноническое уравнение)?
2. Что происходит, если система уравнений задает две параллельные плоскости?
3. Как можно определить угол между двумя плоскостями, заданными линейными уравнениями?
4. Какие способы существуют для нахождения пересечения двух плоскостей?
5. Как можно изменить параметризацию прямой, чтобы использовать другой параметр?

Совет: При решении систем уравнений для нахождения прямой или плоскости всегда полезно визуализировать геометрическую ситуацию для лучшего понимания.