Självklart! Låt oss derivera funktionen $f(x) = \frac{e^{-x} (x+1)^2}{2}$.

Steg-för-steg-lösning:

1. Identifiera derivatan: Funktionen är en produkt av $e^{-x}$ och $(x+1)^2/2$. Derivatan av en produkt $u(x)v(x)$ beräknas med produktregeln: $(uv)' = u'v + uv'$

   Här är: $u(x) = e^{-x}, \quad v(x) = \frac{(x+1)^2}{2}.$

2. Beräkna derivatorna:

   • Derivatan av $u(x) = e^{-x}$: $u'(x) = -e^{-x}.$
   • Derivatan av $v(x) = \frac{(x+1)^2}{2}$: Först deriverar vi $(x+1)^2$ med kedjeregeln: $\frac{d}{dx} (x+1)^2 = 2(x+1).$ Eftersom $v(x) = \frac{(x+1)^2}{2}$, multiplicerar vi med $\frac{1}{2}$: $v'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(x+1) = x+1.$

3. Använd produktregeln: Sätt in derivatorna i produktregeln: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$ Ersätt $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$, och $v'(x)$: $f'(x) = (-e^{-x}) \cdot \frac{(x+1)^2}{2} + e^{-x} \cdot (x+1).$

4. Förenkla uttrycket: Vi bryter ut $e^{-x}$ ur båda termerna: $f'(x) = e^{-x} \left[ -\frac{(x+1)^2}{2} + (x+1) \right].$ Kombinera termerna inom parentesen: $f'(x) = e^{-x} \left[ -\frac{(x+1)^2}{2} + \frac{2(x+1)}{2} \right].$ Skriv om som en bråkform: $f'(x) = e^{-x} \cdot \frac{- (x+1)^2 + 2(x+1)}{2}.$ Utveckla parentesen: $f'(x) = e^{-x} \cdot \frac{- (x^2 + 2x + 1) + 2x + 2}{2}.$ Förenkla termerna: $f'(x) = e^{-x} \cdot \frac{-x^2 - 2x - 1 + 2x + 2}{2}.$ $f'(x) = e^{-x} \cdot \frac{-x^2 + 1}{2}.$

Slutresultat:

$f'(x) = \frac{e^{-x}(-x^2 + 1)}{2}.$

Vill du att jag ska förklara något av stegen mer i detalj?

Relaterade frågor:

1. Hur kan derivatan användas för att hitta funktionens extrempunkter?
2. Kan vi analysera funktionen för asymptotiskt beteende när $x \to \infty$?
3. Hur ser andraderivatan $f''(x)$ ut för denna funktion?
4. Hur påverkar bråket i $f(x)$ derivatans komplexitet?
5. Vilka tillämpningar kan denna derivata ha i praktiken?

Tips:

När du deriverar produkter, identifiera tydligt varje delfunktion och deras derivator innan du använder produktregeln för att minska risken för fel.