برای حل این مسأله ابتدا تابع $g(x)$ و مشتق آن را پیدا می‌کنیم.

گام 1: نوشتن تابع $g(x)$

تابع $g(x)$ داده شده است به صورت:

$g(x) = x^2 + ax + b$

گام 2: پیدا کردن مشتق تابع $g(x)$

مشتق تابع $g(x)$ را می‌گیریم:

$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + ax + b) = 2x + a$

گام 3: نوشتن تابع $f(x)$

تابع $f(x)$ به صورت زیر داده شده است:

$f(x) = |g(x) + g'(x)|$

یعنی:

$f(x) = |(x^2 + ax + b) + (2x + a)|$

پس داریم:

$f(x) = |x^2 + (a+2)x + (b + a)|$

گام 4: بررسی مشتق‌پذیری در نقطه $(2, 0)$

طبق مسأله، تابع $f(x)$ در نقطه $(2, 0)$ باید مشتق‌پذیر باشد. این بدان معناست که:

1. $f(2) = 0$
2. حد مشتق چپ و راست تابع $f(x)$ در نقطه $x = 2$ باید برابر باشد.

4.1: بررسی مقدار $f(2)$

برای اینکه $f(2) = 0$ باشد، باید مقدار داخل پرانتز در $f(x)$ در نقطه $x = 2$ صفر شود:

$f(2) = |2^2 + (a+2) \cdot 2 + (b + a)|$

که برابر با:

$f(2) = |4 + 2a + 4 + b + a| = |8 + 3a + b|$

برای اینکه $f(2) = 0$، باید:

$8 + 3a + b = 0$

پس معادله اول:

$3a + b = -8$

4.2: بررسی مشتق تابع $f(x)$

برای اینکه تابع $f(x)$ در نقطه $x = 2$ مشتق‌پذیر باشد، باید مشتق چپ و راست برابر باشند. مشتق تابع $f(x)$ به دلیل وجود قدر مطلق، در نقاطی که عبارت داخل قدر مطلق صفر شود، باید بررسی شود.

در اینجا عبارت داخل قدر مطلق در نقطه $x = 2$ صفر می‌شود، زیرا:

$8 + 3a + b = 0$

بنابراین مشتق چپ و راست در این نقطه باید با هم برابر شوند. برای این کار، باید مشتق تابع $g(x) + g'(x)$ را در نقطه $x = 2$ پیدا کنیم.

مشتق تابع $g(x) + g'(x)$ به صورت زیر است:

$g(x) + g'(x) = (x^2 + ax + b) + (2x + a)$

مشتق آن می‌شود:

$2x + a + 2 = 2x + (a + 2)$

در $x = 2$ می‌شود:

$2(2) + (a + 2) = 4 + a + 2 = a + 6$

بنابراین برای اینکه مشتق چپ و راست برابر باشند، باید:

$a + 6 = 0$

پس:

$a = -6$

گام 5: حل برای $b$

با جایگزین کردن $a = -6$ در معادله $3a + b = -8$:

$3(-6) + b = -8$

$-18 + b = -8$

$b = 10$

نتیجه‌گیری:

بنابراین، مقدار $2a + b$ برابر است با:

$2a + b = 2(-6) + 10 = -12 + 10 = -2$

پس نتیجه نهایی:

$2a + b = -2$

آیا سوال دیگری دارید یا نیاز به توضیح بیشتری دارید؟

سوالات مرتبط:

1. تابع مشتق‌پذیر چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟
2. چگونه مقدار داخل قدر مطلق را برای مشتق‌پذیری بررسی می‌کنیم؟
3. چه زمانی در نقاطی که قدر مطلق وجود دارد، باید مشتق چپ و راست را بررسی کنیم؟
4. چه ارتباطی بین مقدار تابع و مشتق آن در نقاط خاص وجود دارد؟
5. چگونه می‌توان برای معادلات چند مجهولی راه‌حل‌هایی پیدا کرد؟

نکته:

وقتی در مسائلی با قدر مطلق روبرو می‌شوید، همیشه ابتدا بررسی کنید که در کجا قدر مطلق صفر می‌شود، زیرا این نقاط می‌توانند نقطه‌هایی برای بررسی مشتق‌پذیری تابع باشند.