Untuk menentukan nilai $a$ dan $b$ sehingga fungsi $f(x)$ kontinu di $x = 3$, kita harus memastikan bahwa fungsi $f(x)$ tidak memiliki lompatan atau ketidakterusungan di titik $x = 3$. Ini berarti bahwa nilai limit fungsi dari kiri dan dari kanan di $x = 3$ harus sama dengan nilai fungsi di $x = 3$.

Fungsi yang diberikan adalah:

\begin{cases} a + bx^2 & \text{jika } x > 3 \\ 61 & \text{jika } x = 3 \\ b - ax^3 & \text{jika } x < 3 \end{cases}$$ Agar $$f(x)$$ kontinu di $$x = 3$$, kita harus memenuhi kondisi berikut: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)$$ 1. **Nilai Fungsi di $$x = 3$$:** $$f(3) = 61$$ 2. **Limit dari Kiri $$(x \to 3^-)$$:** $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (b - ax^3) = b - a(3)^3 = b - 27a$$ 3. **Limit dari Kanan $$(x \to 3^+)$$:** $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (a + bx^2) = a + b(3)^2 = a + 9b$$ Agar $$f(x)$$ kontinu di $$x = 3$$, kita harus memiliki: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)$$ Sehingga kita memperoleh dua persamaan: $$b - 27a = 61 \quad \text{(1)}$$ $$a + 9b = 61 \quad \text{(2)}$$ Mari kita selesaikan sistem persamaan ini untuk mencari nilai $$a$$ dan $$b$$: Dari persamaan (2): $$a + 9b = 61 \quad \Rightarrow \quad a = 61 - 9b$$ Substitusikan $$a$$ ke dalam persamaan (1): $$b - 27(61 - 9b) = 61$$ $$b - 27 \cdot 61 + 243b = 61$$ $$b - 1647 + 243b = 61$$ $$244b - 1647 = 61$$ $$244b = 1708$$ $$b = \frac{1708}{244}$$ $$b = 7$$ Sekarang substitusikan nilai $$b$$ kembali ke dalam persamaan $$a = 61 - 9b$$: $$a = 61 - 9 \cdot 7$$ $$a = 61 - 63$$ $$a = -2$$ Jadi, nilai $$a$$ dan $$b$$ yang membuat $$f(x)$$ kontinu di $$x = 3$$ adalah: $$a = -2, \quad b = 7$$ Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan terkait yang bisa kamu jelajahi: 1. Bagaimana memeriksa kekontinuan di titik selain $$x = 3$$? 2. Apa yang terjadi pada fungsi jika $$a$$ dan $$b$$ memiliki nilai berbeda? 3. Bagaimana bentuk grafik fungsi untuk $$a = -2$$ dan $$b = 7$$? 4. Bagaimana cara menemukan limit dari fungsi yang lebih kompleks? 5. Apakah ada metode lain untuk menentukan kekontinuan? 6. Bagaimana pengaruh nilai $$a$$ dan $$b$$ terhadap turunan pertama dari fungsi? 7. Bagaimana mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi $$f(x)$$? 8. Bagaimana cara memeriksa kekontinuan untuk fungsi yang berbeda di lebih dari satu titik? **Tip:** Ketika mencari limit dari sebuah fungsi, pastikan untuk memeriksa nilai dari kiri dan kanan secara terpisah untuk memastikan kontinuitas.