Diketahui fungsi 𝑓(𝑥)= 𝑎+𝑏𝑥^2 , jika 𝑥>3 61, jika 𝑥=3 𝑏−𝑎𝑥^3 , jika 𝑥<3 Tentukan nilai 𝑎 dan 𝑏 sehingga 𝑓(𝑥) kontinu di 𝑥=3.

Untuk menentukan nilai \( a \) dan \( b \) sehingga fungsi \( f(x) \) kontinu di \( x = 3 \), kita harus memastikan bahwa fungsi \( f(x) \) tidak memiliki lompatan atau ketidakterusungan di titik \( x = 3 \). Ini berarti bahwa nilai limit fungsi dari kiri dan dari kanan di \( x = 3 \) harus sama dengan nilai fungsi di \( x = 3 \).

Fungsi yang diberikan adalah:
\[
f(x) = 
\begin{cases} 
a + bx^2 & \text{jika } x > 3 \\
61 & \text{jika } x = 3 \\
b - ax^3 & \text{jika } x < 3 
\end{cases}
\]

Agar \( f(x) \) kontinu di \( x = 3 \), kita harus memenuhi kondisi berikut:
\[
\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)
\]

1. **Nilai Fungsi di \( x = 3 \):**
   \[
   f(3) = 61
   \]

2. **Limit dari Kiri \( (x \to 3^-) \):**
   \[
   \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (b - ax^3) = b - a(3)^3 = b - 27a
   \]

3. **Limit dari Kanan \( (x \to 3^+) \):**
   \[
   \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (a + bx^2) = a + b(3)^2 = a + 9b
   \]

Agar \( f(x) \) kontinu di \( x = 3 \), kita harus memiliki:
\[
\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)
\]

Sehingga kita memperoleh dua persamaan:
\[
b - 27a = 61 \quad \text{(1)}
\]
\[
a + 9b = 61 \quad \text{(2)}
\]

Mari kita selesaikan sistem persamaan ini untuk mencari nilai \( a \) dan \( b \):

Dari persamaan (2):
\[
a + 9b = 61 \quad \Rightarrow \quad a = 61 - 9b
\]

Substitusikan \( a \) ke dalam persamaan (1):
\[
b - 27(61 - 9b) = 61
\]
\[
b - 27 \cdot 61 + 243b = 61
\]
\[
b - 1647 + 243b = 61
\]
\[
244b - 1647 = 61
\]
\[
244b = 1708
\]
\[
b = \frac{1708}{244}
\]
\[
b = 7
\]

Sekarang substitusikan nilai \( b \) kembali ke dalam persamaan \( a = 61 - 9b \):
\[
a = 61 - 9 \cdot 7
\]
\[
a = 61 - 63
\]
\[
a = -2
\]

Jadi, nilai \( a \) dan \( b \) yang membuat \( f(x) \) kontinu di \( x = 3 \) adalah:
\[
a = -2, \quad b = 7
\]

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan terkait yang bisa kamu jelajahi:

1. Bagaimana memeriksa kekontinuan di titik selain \( x = 3 \)?
2. Apa yang terjadi pada fungsi jika \( a \) dan \( b \) memiliki nilai berbeda?
3. Bagaimana bentuk grafik fungsi untuk \( a = -2 \) dan \( b = 7 \)?
4. Bagaimana cara menemukan limit dari fungsi yang lebih kompleks?
5. Apakah ada metode lain untuk menentukan kekontinuan?
6. Bagaimana pengaruh nilai \( a \) dan \( b \) terhadap turunan pertama dari fungsi?
7. Bagaimana mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi \( f(x) \)?
8. Bagaimana cara memeriksa kekontinuan untuk fungsi yang berbeda di lebih dari satu titik?

**Tip:** Ketika mencari limit dari sebuah fungsi, pastikan untuk memeriksa nilai dari kiri dan kanan secara terpisah untuk memastikan kontinuitas.

Learn how to determine the values of a and b to ensure the continuity of the function f(x) = a + bx^2, if x > 3; 61, if x = 3; b - ax^3, if x < 3 at x = 3. This problem involves understanding continuity, limits, and solving a system of equations. Suitable for advanced high school students and those preparing for calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation