برای بررسی اینکه مجموعه‌های داده شده فضای برداری هستند یا نه، باید ببینیم آیا این مجموعه‌ها همه خواص یک فضای برداری را دارند یا خیر. این خواص شامل بستار تحت جمع، بستار تحت ضرب نرده‌ای، وجود عنصر صفر، وجود عنصر معکوس برای جمع و خاصیت توزیعی هستند. هر سه مجموعه را به ترتیب بررسی می‌کنیم:

الف) مجموعه U = {(a, b, c) | b = a + ۱, c = ۰}

• جمع: اگر دو بردار $(a_1, b_1, c_1)$ و $(a_2, b_2, c_2)$ عضو $U$ باشند، باید ببینیم جمع آنها هم عضو $U$ هست یا نه. $(a_1, b_1, c_1) + (a_2, b_2, c_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, c_1 + c_2)$ با توجه به تعریف مجموعه $U$، داریم $b_1 = a_1 + ۱$ و $b_2 = a_2 + ۱$ و $c_1 = ۰$ و $c_2 = ۰$. $b_1 + b_2 = (a_1 + ۱) + (a_2 + ۱) = a_1 + a_2 + ۲ \neq (a_1 + a_2) + ۱$ بنابراین جمع این دو بردار عضو $U$ نیست و مجموعه تحت جمع بسته نیست. پس $U$ فضای برداری نیست.

ب) مجموعه U = {(a, b) که جمع آن به شکل (a, b) + (c, d) = (ac, bd) تعریف می‌شود و ضرب آن ضرب عادی اعداد حقیقی است.

• جمع: اگر دو بردار $(a, b)$ و $(c, d)$ عضو $U$ باشند، جمع آنها به صورت زیر است: $(a, b) + (c, d) = (ac, bd)$ برای اینکه $U$ فضای برداری باشد، جمع باید طبق تعریف فضای برداری به شکل $(a + c, b + d)$ باشد. اما در اینجا جمع به شکل $(ac, bd)$ تعریف شده که خواص فضای برداری را ندارد.

• وجود عنصر صفر: برای وجود عنصر صفر $(0, 0)$: $(a, b) + (0, 0) = (a \cdot 0, b \cdot 0) = (0, 0)$ این شرط برقرار است اما به دلیل عدم برقراری شرط جمع، مجموعه $U$ فضای برداری نیست.

ج) مجموعه U = {(a, b) که ضرب اسکالر به شکل α(a, b) = (αa, ۲αb) تعریف می‌شود

• جمع: جمع دو بردار $(a_1, b_1)$ و $(a_2, b_2)$ به صورت زیر تعریف شده: $(a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)$ این شرط برقرار است.

• ضرب نرده‌ای: ضرب نرده‌ای برای یک عدد حقیقی $α$: $α(a, b) = (αa, ۲αb)$ بررسی خواص ضرب نرده‌ای:

  • توزیع پذیری: $α((a_1, b_1) + (a_2, b_2)) = α(a_1 + a_2, b_1 + b_2) = (α(a_1 + a_2), ۲α(b_1 + b_2))$ در حالی که: $α(a_1, b_1) + α(a_2, b_2) = (αa_1, ۲αb_1) + (αa_2, ۲αb_2) = (αa_1 + αa_2, ۲αb_1 + ۲αb_2)$ چون $۲α(b_1 + b_2) \neq ۲αb_1 + ۲αb_2$، توزیع پذیری برقرار نیست. بنابراین، $U$ فضای برداری نیست.

آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید؟ یا سوالی درباره موضوع دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چه شرایطی برای بستار تحت جمع در فضای برداری باید برقرار باشد؟
2. چگونه می‌توان وجود عنصر صفر در یک فضای برداری را اثبات کرد؟
3. چرا خاصیت توزیعی برای فضای برداری اهمیت دارد؟
4. آیا می‌توان مثالی از یک مجموعه که همه خواص فضای برداری را دارد، ارائه داد؟
5. چه تفاوتی بین جمع برداری در فضای برداری و جمع اسکالر وجود دارد؟

نکته:

برای اثبات اینکه یک مجموعه فضای برداری است، باید تمام خواص تعریف شده در فضای برداری را بررسی کنید و مطمئن شوید که همه خواص برقرارند.