Determinar a∈ y b∈ , en cada caso, si existen, tal que = +   v au bw, siendo = (1;2) 
u y
= − (1; 1) 
w si: a) = (2;1) 
v b) = −( 1;7)

Dado que \(\mathbf{v} = a\mathbf{u} + b\mathbf{w}\), donde \(\mathbf{u} = (1, 2)\) y \(\mathbf{w} = (-1, 1)\), necesitamos encontrar los valores de \(a\) y \(b\) que satisfacen esta ecuación para dos casos diferentes de \(\mathbf{v}\).

### Caso a: \(\mathbf{v} = (2, 1)\)

Tenemos la siguiente ecuación vectorial:

\[
(2, 1) = a(1, 2) + b(-1, 1)
\]

Esto se descompone en un sistema de ecuaciones lineales:

\[
\begin{cases}
a - b = 2 \quad \text{(1)}\\
2a + b = 1 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

1. De la ecuación (1): \( a - b = 2 \Rightarrow a = b + 2 \).
2. Sustituyendo \(a\) en la ecuación (2):

\[
2(b + 2) + b = 1 \quad \Rightarrow \quad 2b + 4 + b = 1 \quad \Rightarrow \quad 3b = -3 \quad \Rightarrow \quad b = -1
\]

3. Sustituyendo \(b = -1\) en \(a = b + 2\):

\[
a = -1 + 2 = 1
\]

Entonces, los valores son \(a = 1\) y \(b = -1\).

### Caso b: \(\mathbf{v} = (-1, 7)\)

La ecuación vectorial es:

\[
(-1, 7) = a(1, 2) + b(-1, 1)
\]

Esto se descompone en:

\[
\begin{cases}
a - b = -1 \quad \text{(3)}\\
2a + b = 7 \quad \text{(4)}
\end{cases}
\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

1. De la ecuación (3): \( a - b = -1 \Rightarrow a = b - 1 \).
2. Sustituyendo \(a\) en la ecuación (4):

\[
2(b - 1) + b = 7 \quad \Rightarrow \quad 2b - 2 + b = 7 \quad \Rightarrow \quad 3b = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3
\]

3. Sustituyendo \(b = 3\) en \(a = b - 1\):

\[
a = 3 - 1 = 2
\]

Entonces, los valores son \(a = 2\) y \(b = 3\).

### Resumen:

- Para el caso a) \(\mathbf{v} = (2, 1)\): \(a = 1\) y \(b = -1\).
- Para el caso b) \(\mathbf{v} = (-1, 7)\): \(a = 2\) y \(b = 3\).

¿Te gustaría más detalles sobre la resolución o tienes alguna otra pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales en general?
2. ¿Qué otros métodos pueden usarse para resolver sistemas de ecuaciones?
3. ¿Qué representan los coeficientes \(a\) y \(b\) en el contexto de combinaciones lineales de vectores?
4. ¿Cómo se puede verificar si un vector es una combinación lineal de otros?
5. ¿Qué es el espacio generado por un conjunto de vectores?

**Tip:** Resolver sistemas de ecuaciones es esencial para determinar si un vector puede ser expresado como una combinación lineal de otros.

Explore how to determine coefficients a and b for vectors u and w such that v = au + bw. Detailed solutions provided for two different cases. Suitable for university-level students studying vector algebra and linear combinations.

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