Math Problem Statement
Укажите интегралы не зависящие от пути интегрирования
∫Lxydx−x2dy
∫L3x2ydx−(4−3y2x)dy
∫L(3+2y)dx+(2x−y)dy
∫L(x2−2y)dx+(x−y2)dy
Solution
Для определения, зависит ли криволинейный интеграл от пути интегрирования, мы проверяем, является ли векторное поле консервативным. Для этого выполняются два условия:
- Область определения должна быть связной и односвязной.
- Выполняется условие .
Теперь проверим для каждого интеграла:
1.
, следовательно, поле не является консервативным, и интеграл зависит от пути интегрирования.
2.
, следовательно, поле не является консервативным, и интеграл зависит от пути интегрирования.
3.
, поле является консервативным. Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования.
4.
, следовательно, поле не является консервативным, и интеграл зависит от пути интегрирования.
Итог:
Интегралы, не зависящие от пути интегрирования:
Хотите подробное объяснение или разобрать примеры?
5 вопросов для размышления:
- Что означает "поле является консервативным" в физическом смысле?
- Как связана односвязность области с консервативностью поля?
- Можно ли сделать поле консервативным, изменив его?
- Каковы физические примеры консервативных полей?
- Как вычислить интеграл по замкнутому пути, если поле консервативное?
Совет:
Если поле консервативное, интеграл можно выразить через разность потенциалов, что значительно упрощает вычисления!
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Vector Calculus
Line Integrals
Conservative Fields
Formulas
∫L P(x, y) dx + Q(x, y) dy
∂P/∂y = ∂Q/∂x (for conservative fields)
Theorems
Conservative Vector Field Theorem
Fundamental Theorem for Line Integrals
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics (Advanced Calculus)
Related Recommendation
Determining if a Vector Field is Conservative and Calculating Line Integrals
Determining the Effect of Reversed Orientation on a Line Integral
Understanding Path Independence in Complex Variables
Understanding the Inverse of Gradient in Calculus: Anti-Gradient, Conservative Fields, and Line Integrals
Line Integral Calculation along Two Line Segments in Vector Calculus