Math Problem Statement

Укажите интегралы не зависящие от пути интегрирования

∫Lxydx−x2dy

∫L3x2ydx−(4−3y2x)dy

∫L(3+2y)dx+(2x−y)dy

∫L(x2−2y)dx+(x−y2)dy

Solution

Для определения, зависит ли криволинейный интеграл от пути интегрирования, мы проверяем, является ли векторное поле F=P(x,y)i+Q(x,y)j\vec{F} = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} консервативным. Для этого выполняются два условия:

  1. Область определения F\vec{F} должна быть связной и односвязной.
  2. Выполняется условие Py=Qx\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

Теперь проверим для каждого интеграла:


1. Lxydxx2dy\int_L x y \, dx - x^2 \, dy

P(x,y)=xy,Q(x,y)=x2P(x, y) = x y, \quad Q(x, y) = -x^2 Py=x,Qx=2x\frac{\partial P}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -2x

PyQx\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}, следовательно, поле не является консервативным, и интеграл зависит от пути интегрирования.


2. L3x2ydx(43y2x)dy\int_L 3x^2y \, dx - (4 - 3y^2x) \, dy

P(x,y)=3x2y,Q(x,y)=(43y2x)P(x, y) = 3x^2y, \quad Q(x, y) = -(4 - 3y^2x) Py=3x2,Qx=(3y2)=3y2\frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -(-3y^2) = 3y^2

PyQx\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}, следовательно, поле не является консервативным, и интеграл зависит от пути интегрирования.


3. L(3+2y)dx+(2xy)dy\int_L (3 + 2y) \, dx + (2x - y) \, dy

P(x,y)=3+2y,Q(x,y)=2xyP(x, y) = 3 + 2y, \quad Q(x, y) = 2x - y Py=2,Qx=2\frac{\partial P}{\partial y} = 2, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2

Py=Qx\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, поле является консервативным. Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования.


4. L(x22y)dx+(xy2)dy\int_L (x^2 - 2y) \, dx + (x - y^2) \, dy

P(x,y)=x22y,Q(x,y)=xy2P(x, y) = x^2 - 2y, \quad Q(x, y) = x - y^2 Py=2,Qx=1\frac{\partial P}{\partial y} = -2, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 1

PyQx\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}, следовательно, поле не является консервативным, и интеграл зависит от пути интегрирования.


Итог:

Интегралы, не зависящие от пути интегрирования: L(3+2y)dx+(2xy)dy\int_L (3 + 2y) \, dx + (2x - y) \, dy


Хотите подробное объяснение или разобрать примеры?

5 вопросов для размышления:

  1. Что означает "поле является консервативным" в физическом смысле?
  2. Как связана односвязность области с консервативностью поля?
  3. Можно ли сделать поле консервативным, изменив его?
  4. Каковы физические примеры консервативных полей?
  5. Как вычислить интеграл по замкнутому пути, если поле консервативное?

Совет:

Если поле консервативное, интеграл можно выразить через разность потенциалов, что значительно упрощает вычисления!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Calculus
Line Integrals
Conservative Fields

Formulas

∫L P(x, y) dx + Q(x, y) dy
∂P/∂y = ∂Q/∂x (for conservative fields)

Theorems

Conservative Vector Field Theorem
Fundamental Theorem for Line Integrals

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics (Advanced Calculus)