Math Problem Statement

Apakah polynomial-polynomial berikut bebas linier?

y1 = 1 - 2x + 3x² y2 = 5 + 6x - x² y3 = 3 + 2x + x²

Tentukan apakah bebas linier atau bergenatung linier!

Solution

Untuk menentukan apakah polinomial y1,y2y_1, y_2, dan y3y_3 bebas linier atau bergantung linier, kita harus mencari koefisien a1,a2,a_1, a_2, dan a3a_3 (tidak semua nol) sehingga:

a1y1+a2y2+a3y3=0a_1 y_1 + a_2 y_2 + a_3 y_3 = 0

Artinya, kita perlu memeriksa apakah kombinasi linear non-trivial dari ketiga polinomial tersebut menghasilkan nol. Kita mulai dengan menuliskan bentuk umum dari kombinasi linear ini:

a1(12x+3x2)+a2(5+6xx2)+a3(3+2x+x2)=0a_1 (1 - 2x + 3x^2) + a_2 (5 + 6x - x^2) + a_3 (3 + 2x + x^2) = 0

Selanjutnya, kita ekspansi dan kumpulkan koefisien dari setiap suku:

a1(12x+3x2)+a2(5+6xx2)+a3(3+2x+x2)a_1 (1 - 2x + 3x^2) + a_2 (5 + 6x - x^2) + a_3 (3 + 2x + x^2)

=a11+a1(2x)+a13x2+a25+a26x+a2(x2)+a33+a32x+a3x2= a_1 \cdot 1 + a_1 \cdot (-2x) + a_1 \cdot 3x^2 + a_2 \cdot 5 + a_2 \cdot 6x + a_2 \cdot (-x^2) + a_3 \cdot 3 + a_3 \cdot 2x + a_3 \cdot x^2

=(a1+5a2+3a3)+(2a1+6a2+2a3)x+(3a1a2+a3)x2= (a_1 + 5a_2 + 3a_3) + (-2a_1 + 6a_2 + 2a_3)x + (3a_1 - a_2 + a_3)x^2

Karena polinomial ini harus sama dengan nol untuk semua xx, maka koefisien dari 1,x,1, x, dan x2x^2 masing-masing harus sama dengan nol. Ini memberikan kita sistem persamaan:

  1. ( a_1