Apakah polynomial-polynomial berikut bebas linier?

y1 = 1 - 2x + 3x²
y2 = 5 + 6x - x²
y3 = 3 + 2x + x²

Tentukan apakah bebas linier atau bergenatung linier!

Untuk menentukan apakah polinomial \( y_1, y_2 \), dan \( y_3 \) bebas linier atau bergantung linier, kita harus mencari koefisien \( a_1, a_2, \) dan \( a_3 \) (tidak semua nol) sehingga:

\[ a_1 y_1 + a_2 y_2 + a_3 y_3 = 0 \]

Artinya, kita perlu memeriksa apakah kombinasi linear non-trivial dari ketiga polinomial tersebut menghasilkan nol. Kita mulai dengan menuliskan bentuk umum dari kombinasi linear ini:

\[ a_1 (1 - 2x + 3x^2) + a_2 (5 + 6x - x^2) + a_3 (3 + 2x + x^2) = 0 \]

Selanjutnya, kita ekspansi dan kumpulkan koefisien dari setiap suku:

\[
a_1 (1 - 2x + 3x^2) + a_2 (5 + 6x - x^2) + a_3 (3 + 2x + x^2)
\]

\[
= a_1 \cdot 1 + a_1 \cdot (-2x) + a_1 \cdot 3x^2 + a_2 \cdot 5 + a_2 \cdot 6x + a_2 \cdot (-x^2) + a_3 \cdot 3 + a_3 \cdot 2x + a_3 \cdot x^2
\]

\[
= (a_1 + 5a_2 + 3a_3) + (-2a_1 + 6a_2 + 2a_3)x + (3a_1 - a_2 + a_3)x^2
\]

Karena polinomial ini harus sama dengan nol untuk semua \( x \), maka koefisien dari \( 1, x, \) dan \( x^2 \) masing-masing harus sama dengan nol. Ini memberikan kita sistem persamaan:

1. \( a_1

Explore how to determine if polynomials are linearly independent or dependent through linear combinations. This problem involves analyzing the coefficients of given polynomials and forming linear combinations. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation