Per determinar els valors de $a$ i $b$ perquè els vectors $\mathbf{v}_1 = (1, 1, 0, a)$, $\mathbf{v}_2 = (3, -1, b, -1)$, i $\mathbf{v}_3 = (-3, 5, a, -4)$ siguin linealment dependents, cal que el determinant de la matriu formada per aquests vectors sigui zero.

Procediment:

1. Organitzem els vectors com files d’una matriu:

   1 & 1 & 0 & a \\ 3 & -1 & b & -1 \\ -3 & 5 & a & -4 \end{pmatrix}.$$

2. Els vectors són linealment dependents si i només si: $\det(M) = 0.$

3. Calculem el determinant de $M$:

   1 & 1 & 0 & a \\ 3 & -1 & b & -1 \\ -3 & 5 & a & -4 \end{vmatrix}.$$

Determinant per expansió de la primera fila:

-1 & b & -1 \\ 5 & a & -4 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & b & -1 \\ -3 & a & -4 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & b \\ -3 & 5 & a \end{vmatrix}.$$ ### Expansió dels menors determinants: #### Primer determinant: $$\begin{vmatrix} -1 & b & -1 \\ 5 & a & -4 \end{vmatrix} = (-1)(a)(-4) + b(5)(-1) + (-1)(5)(-4) - (-1)(a)(-1) - b(5)(-1) - (-1)(5)(b).$$ #### Seguir expandint fins obtenir l’equació final.