Phân tích bài toán:

Để xác định các hàm song tuyến tính nào là tích vô hướng trên $\mathbb{R}^2$, ta cần kiểm tra hai điều kiện quan trọng đối với một tích vô hướng:

1. Tính đối xứng: $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}^2$.
2. Tính xác định dương: $\langle x, x \rangle > 0$ nếu $x \neq 0$ và $\langle x, x \rangle = 0$ chỉ khi $x = 0$.

1. Xét hàm $A(x, y) = x_1y_1 - x_2y_2$

• Tính đối xứng: $A(x, y) = x_1y_1 - x_2y_2$ $A(y, x) = y_1x_1 - y_2x_2 = x_1y_1 - x_2y_2$ Do đó, $A(x, y) = A(y, x)$, nên $A$ đối xứng.

• Tính xác định dương: $A(x, x) = x_1^2 - x_2^2$ Điều này không phải lúc nào cũng lớn hơn 0 với $x \neq 0$, ví dụ $x_1 = x_2 \neq 0$ thì $A(x, x) = 0$. Vậy, $A$ không xác định dương.

Kết luận: $A$ chỉ là đối xứng, nhưng không phải tích vô hướng.

2. Xét hàm $B(x, y) = x_1y_2 + x_2y_1$

• Tính đối xứng: $B(x, y) = x_1y_2 + x_2y_1$ $B(y, x) = y_1x_2 + y_2x_1 = x_2y_1 + x_1y_2$ Do đó, $B(x, y) = B(y, x)$, nên $B$ đối xứng.

• Tính xác định dương: $B(x, x) = x_1x_2 + x_2x_1 = 2x_1x_2$ Điều này không đảm bảo lớn hơn 0 với mọi $x \neq 0$, ví dụ nếu $x_1 = 1, x_2 = 0$ thì $B(x, x) = 0$. Vậy, $B$ không xác định dương.

Kết luận: $B$ đối xứng, nhưng không phải tích vô hướng.

3. Xét hàm $C(x, y) = 3x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2$

• Tính đối xứng: $C(x, y) = 3x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2$ $C(y, x) = 3y_1x_1 + y_1x_2 + y_2x_1 + 2y_2x_2 = 3x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2$ Do đó, $C(x, y) = C(y, x)$, nên $C$ đối xứng.

• Tính xác định dương: $C(x, x) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ Vì biểu thức này là một tổng các bình phương và tích dương, nên $C(x, x) > 0$ khi $x \neq 0$. Do đó, $C$ xác định dương.

Kết luận: $C$ là tích vô hướng trên $\mathbb{R}^2$.

Kết luận cuối cùng:

• Đáp án đúng là c. C là một tích vô hướng trên $\mathbb{R}^2$.
• $A$ đối xứng, nhưng không phải tích vô hướng.
• $B$ đối xứng, nhưng không xác định dương.

Bạn có muốn biết thêm chi tiết nào khác không?

5 Câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để xác định một tích vô hướng trong không gian nhiều chiều hơn?
2. Nếu một hàm không đối xứng thì điều gì xảy ra với tính chất của nó trong không gian véc-tơ?
3. Điều kiện nào khác ngoài tính đối xứng và xác định dương có thể xác định một tích vô hướng?
4. Có thể mở rộng các hàm song tuyến tính này cho các không gian phức không?
5. Hàm $B(x, y)$ có đặc tính gì nếu không phải là tích vô hướng?

Mẹo: Khi kiểm tra một hàm có phải là tích vô hướng hay không, bước đầu tiên luôn là kiểm tra tính đối xứng và sau đó là tính xác định dương.