Determinar gráfica y analíticamente los tiempos en que: a) A equidista de B y C; b) B equidista de A y C; c) C equidista de A y B; d) A se cruza con C.  que significa el termino equidistar en este problema

En este contexto, **equidistar** significa que la distancia entre un punto dado y otros dos puntos es la misma. Por ejemplo:

- **A equidista de B y C**: significa que la distancia entre \( A \) y \( B \) es igual a la distancia entre \( A \) y \( C \).
  
Formalmente, si las posiciones de los puntos dependen del tiempo (por ejemplo, \( A(t), B(t), C(t) \) son las posiciones de A, B y C en función del tiempo), la condición de equidistancia puede escribirse como:

\[
d(A, B) = d(A, C)
\]

donde \( d(X, Y) \) es la distancia entre los puntos \( X \) e \( Y \). Lo mismo se aplica para las otras situaciones.

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### Pasos para resolver cada caso:

1. **Distancia entre dos puntos:**  
   Si los puntos se mueven en línea recta, y sus posiciones son \( A(t), B(t) \), la distancia entre dos puntos en un momento \( t \) es:

   \[
   d(A, B) = \sqrt{(x_A(t) - x_B(t))^2 + (y_A(t) - y_B(t))^2}
   \]

2. **Condición de equidistancia:**
   Para encontrar los tiempos en que un punto equidista de otros dos, debes igualar las distancias y resolver la ecuación para \( t \).

   Por ejemplo, para el caso (a):

   \[
   \sqrt{(x_A(t) - x_B(t))^2 + (y_A(t) - y_B(t))^2} = \sqrt{(x_A(t) - x_C(t))^2 + (y_A(t) - y_C(t))^2}
   \]

   Esta ecuación te dará los **tiempos** \( t \) en que A equidista de B y C.

3. **Casos adicionales:**  
   - El cruce entre dos puntos (por ejemplo, A y C) ocurre cuando tienen la misma posición en un instante:

     \[
     A(t) = C(t)
     \]

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### Resumen de los cuatro casos:

a) **A equidista de B y C:** Encuentra los tiempos donde la distancia \( d(A, B) = d(A, C) \).

b) **B equidista de A y C:** Encuentra los tiempos donde \( d(B, A) = d(B, C) \).

c) **C equidista de A y B:** Encuentra los tiempos donde \( d(C, A) = d(C, B) \).

d) **A se cruza con C:** Encuentra los tiempos donde \( A(t) = C(t) \), es decir, las posiciones de A y C coinciden.

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¿Te gustaría que desarrolle un ejemplo específico para alguno de los casos o que lo resuelva gráficamente? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que pueden ayudarte a profundizar: 

1. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas al igualar distancias?
2. ¿Qué sucede si los puntos siguen trayectorias no lineales?
3. ¿Cómo se representa gráficamente la trayectoria de puntos en movimiento?
4. ¿Se pueden resolver estos problemas con sistemas de ecuaciones?
5. ¿Qué métodos numéricos se usan si las ecuaciones no tienen solución exacta?

**Tip:** Si representas las trayectorias en el plano, las intersecciones o las zonas donde las distancias son iguales suelen ser más claras de identificar visualmente.

Determinar gráfica y analíticamente los tiempos en que: a) A equidista de B y C; b) B equidista de A y C; c) C equidista de A y B; d) A se cruza con C. ¿Qué significa el término 'equidistar' en este problema?

Learn to determine the times when points are equidistant in a dynamic system and when two points intersect. This problem explores analytic geometry concepts, including equidistance conditions and the distance formula, suitable for students in Grades 10-12.

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