f(x)= (x²+3x-4)(x²-9)/ (x²+x-12) (x+3) tentukan domain dan range

Untuk menentukan **domain** dan **range** dari fungsi \( f(x) = \frac{(x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)}{(x^2 + x - 12)(x + 3)} \), kita akan menganalisisnya sebagai berikut:

### 1. **Domain**
Domain adalah semua nilai \( x \) yang membuat fungsi terdefinisi, yaitu nilai-nilai yang tidak menyebabkan penyebut menjadi nol.

#### Penyebut:
Penyebut dari fungsi ini adalah \( (x^2 + x - 12)(x + 3) \).

- Faktorkan \( x^2 + x - 12 \):
  \[
  x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)
  \]
  Jadi, penyebut menjadi:
  \[
  (x - 3)(x + 4)(x + 3)
  \]

Untuk domain, kita harus memastikan bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Maka, kita cari nilai \( x \) yang membuat penyebut nol:
\[
(x - 3)(x + 4)(x + 3) = 0
\]
Ini akan terjadi ketika:
- \( x - 3 = 0 \)  ⟹  \( x = 3 \)
- \( x + 4 = 0 \)  ⟹  \( x = -4 \)
- \( x + 3 = 0 \)  ⟹  \( x = -3 \)

Jadi, nilai-nilai yang membuat fungsi tidak terdefinisi adalah \( x = 3 \), \( x = -4 \), dan \( x = -3 \).

**Domain**: 
\[
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 3, x \neq -4, x \neq -3
\]
atau ditulis dalam notasi interval:
\[
(-\infty, -4) \cup (-4, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)
\]

### 2. **Range**
Untuk **range**, kita harus menganalisis bagaimana nilai \( y = f(x) \) berperilaku untuk semua nilai \( x \) dalam domain. Proses ini lebih kompleks, namun langkah umum yang bisa diambil:

#### Langkah-langkah:
1. **Sederhanakan fungsi**: Lihat apakah ada faktor-faktor yang bisa disederhanakan antara pembilang dan penyebut.
   
   Pembilang \( (x^2 + 3x - 4) \) bisa difaktorkan sebagai:
   \[
   x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)
   \]
   Sehingga pembilang menjadi:
   \[
   (x - 1)(x + 4)(x^2 - 9)
   \]
   Di mana \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \). Jadi, bentuk faktornya adalah:
   \[
   (x - 1)(x + 4)(x - 3)(x + 3)
   \]

   Fungsi sekarang menjadi:
   \[
   f(x) = \frac{(x - 1)(x + 4)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 4)(x + 3)}
   \]
   Sederhanakan dengan mencoret faktor-faktor yang sama di pembilang dan penyebut:
   \[
   f(x) = x - 1
   \]
   dengan syarat \( x \neq 3 \), \( x \neq -4 \), dan \( x \neq -3 \) (karena faktor ini ada di penyebut sebelum disederhanakan).

#### Bentuk Sederhana:
\[
f(x) = x - 1
\]

#### **Range**:
Karena fungsi \( f(x) = x - 1 \) adalah fungsi linear, maka range-nya adalah seluruh bilangan real:
\[
\text{Range} = \mathbb{R}
\]

### Kesimpulan:
- **Domain**: \( (-\infty, -4) \cup (-4, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty) \)
- **Range**: \( \mathbb{R} \)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan yang relevan:
1. Bagaimana cara menentukan domain dari fungsi yang lebih kompleks?
2. Mengapa kita perlu memperhatikan nilai penyebut dalam menentukan domain?
3. Bagaimana faktor-faktor mempengaruhi penyederhanaan fungsi rasional?
4. Apa perbedaan antara domain dan range dalam konteks grafik fungsi?
5. Bisakah ada fungsi yang tidak memiliki range berupa semua bilangan real?

**Tip**: Saat menyederhanakan fungsi rasional, selalu periksa pembatalan faktor yang dapat mengubah domain fungsi!

Learn how to find the domain and range of the rational function f(x) = (x²+3x-4)(x²-9)/(x²+x-12)(x+3). This solution covers key algebraic concepts such as factoring quadratics, determining domain restrictions, and simplifying rational functions. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation