Untuk menentukan domain dan range dari fungsi $f(x) = \frac{(x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)}{(x^2 + x - 12)(x + 3)}$, kita akan menganalisisnya sebagai berikut:

1. Domain

Domain adalah semua nilai $x$ yang membuat fungsi terdefinisi, yaitu nilai-nilai yang tidak menyebabkan penyebut menjadi nol.

Penyebut:

Penyebut dari fungsi ini adalah $(x^2 + x - 12)(x + 3)$.

• Faktorkan $x^2 + x - 12$: $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$ Jadi, penyebut menjadi: $(x - 3)(x + 4)(x + 3)$

Untuk domain, kita harus memastikan bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Maka, kita cari nilai $x$ yang membuat penyebut nol: $(x - 3)(x + 4)(x + 3) = 0$ Ini akan terjadi ketika:

• $x - 3 = 0$ ⟹ $x = 3$
• $x + 4 = 0$ ⟹ $x = -4$
• $x + 3 = 0$ ⟹ $x = -3$

Jadi, nilai-nilai yang membuat fungsi tidak terdefinisi adalah $x = 3$, $x = -4$, dan $x = -3$.

Domain: $x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 3, x \neq -4, x \neq -3$ atau ditulis dalam notasi interval: $(-\infty, -4) \cup (-4, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$

2. Range

Untuk range, kita harus menganalisis bagaimana nilai $y = f(x)$ berperilaku untuk semua nilai $x$ dalam domain. Proses ini lebih kompleks, namun langkah umum yang bisa diambil:

Langkah-langkah:

1. Sederhanakan fungsi: Lihat apakah ada faktor-faktor yang bisa disederhanakan antara pembilang dan penyebut.

   Pembilang $(x^2 + 3x - 4)$ bisa difaktorkan sebagai: $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$ Sehingga pembilang menjadi: $(x - 1)(x + 4)(x^2 - 9)$ Di mana $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Jadi, bentuk faktornya adalah: $(x - 1)(x + 4)(x - 3)(x + 3)$

   Fungsi sekarang menjadi: $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 4)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 4)(x + 3)}$ Sederhanakan dengan mencoret faktor-faktor yang sama di pembilang dan penyebut: $f(x) = x - 1$ dengan syarat $x \neq 3$, $x \neq -4$, dan $x \neq -3$ (karena faktor ini ada di penyebut sebelum disederhanakan).

Bentuk Sederhana:

$f(x) = x - 1$

Range:

Karena fungsi $f(x) = x - 1$ adalah fungsi linear, maka range-nya adalah seluruh bilangan real: $\text{Range} = \mathbb{R}$

Kesimpulan:

• Domain: $(-\infty, -4) \cup (-4, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$
• Range: $\mathbb{R}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan yang relevan:

1. Bagaimana cara menentukan domain dari fungsi yang lebih kompleks?
2. Mengapa kita perlu memperhatikan nilai penyebut dalam menentukan domain?
3. Bagaimana faktor-faktor mempengaruhi penyederhanaan fungsi rasional?
4. Apa perbedaan antara domain dan range dalam konteks grafik fungsi?
5. Bisakah ada fungsi yang tidak memiliki range berupa semua bilangan real?

Tip: Saat menyederhanakan fungsi rasional, selalu periksa pembatalan faktor yang dapat mengubah domain fungsi!