La función que aparece en la imagen es:

$f(x) = 3x^2 + x^3$

Para determinar los puntos críticos de una función, se debe encontrar su derivada y luego igualar la derivada a cero.

1. Derivada de $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(x^3)$ La derivada de $3x^2$ es $6x$ y la derivada de $x^3$ es $3x^2$. Por lo tanto:

$f'(x) = 6x + 3x^2$

2. Encontrar los puntos críticos

Para encontrar los puntos críticos, igualamos $f'(x)$ a cero y resolvemos:

$6x + 3x^2 = 0$

Factorizando la ecuación:

$3x(2 + x) = 0$

Esto nos da dos soluciones:

$x = 0 \quad \text{y} \quad x = -2$

3. Conclusión

Los puntos críticos de la función son $x = 0$ y $x = -2$.

¿Te gustaría más detalles sobre cómo clasificar estos puntos críticos como máximos, mínimos o puntos de inflexión?

Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas para seguir explorando el tema:

1. ¿Cómo se clasifican los puntos críticos usando la segunda derivada?
2. ¿Cómo afecta el término cúbico en la forma de la gráfica de la función?
3. ¿Qué ocurre si evaluamos la función en los puntos críticos?
4. ¿Cómo se interpreta el comportamiento de la función alrededor de $x = 0$ y $x = -2$?
5. ¿Qué importancia tienen los puntos de inflexión en el estudio de una función?

Tip: Siempre que determines los puntos críticos, es útil analizar el signo de la derivada en ambos lados del punto crítico para verificar si es un máximo o mínimo local.