Considere a matriz A3x3 tal que seus elementos aj , são definidos por:

aij = 2i + j se i > j

aij = 2j - i se i < j

aij = 2i + 2j se i=j

Calcule o determinante dessa matriz.

Vamos considerar a matriz \( A \) de ordem 3, com elementos \( a_{ij} \) definidos pelas seguintes regras:

- \( a_{ij} = 2i + j \) se \( i > j \)
- \( a_{ij} = 2j - i \) se \( i < j \)
- \( a_{ij} = 2i + 2j \) se \( i = j \)

Com essas definições, vamos construir a matriz \( A \).

### Passo 1: Construção da matriz \( A \)

#### Linha 1 (i = 1):
- Para \( j = 1 \): \( a_{11} = 2(1) + 2(1) = 4 \)
- Para \( j = 2 \): \( a_{12} = 2(2) - 1 = 3 \)
- Para \( j = 3 \): \( a_{13} = 2(3) - 1 = 5 \)

#### Linha 2 (i = 2):
- Para \( j = 1 \): \( a_{21} = 2(2) + 1 = 5 \)
- Para \( j = 2 \): \( a_{22} = 2(2) + 2(2) = 8 \)
- Para \( j = 3 \): \( a_{23} = 2(3) - 2 = 4 \)

#### Linha 3 (i = 3):
- Para \( j = 1 \): \( a_{31} = 2(3) + 1 = 7 \)
- Para \( j = 2 \): \( a_{32} = 2(3) + 2 = 8 \)
- Para \( j = 3 \): \( a_{33} = 2(3) + 2(3) = 12 \)

Portanto, a matriz \( A \) é:

\[
A = \begin{pmatrix}
4 & 3 & 5 \\
5 & 8 & 4 \\
7 & 8 & 12
\end{pmatrix}
\]

### Passo 2: Cálculo do determinante de \( A \)

Agora que temos a matriz \( A \), vamos calcular o determinante. O determinante de uma matriz \( 3 \times 3 \) pode ser calculado usando a regra de Sarrus:

\[
\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})
\]

Substituindo os valores dos elementos de \( A \):

\[
\det(A) = 4[(8)(12) - (4)(8)] - 3[(5)(12) - (4)(7)] + 5[(5)(8) - (8)(7)]
\]

Agora, vamos calcular cada termo:

\[
\det(A) = 4[96 - 32] - 3[60 - 28] + 5[40 - 56]
\]

\[
\det(A) = 4 \times 64 - 3 \times 32 + 5 \times (-16)
\]

\[
\det(A) = 256 - 96 - 80
\]

\[
\det(A) = 80
\]

Portanto, o determinante da matriz \( A \) é \( \boxed{80} \).

---

Deseja detalhes adicionais ou tem alguma pergunta? Aqui estão 5 perguntas relacionadas ao conteúdo:

1. Como se calcula o determinante de uma matriz \( 3 \times 3 \) usando a regra de Sarrus?
2. O que muda no cálculo do determinante se a matriz for de ordem \( 2 \times 2 \)?
3. O que é uma matriz triangular e como seu determinante pode ser calculado?
4. Como se definem as regras gerais para determinantes de matrizes de ordem \( n \times n \)?
5. Que propriedades das matrizes podem simplificar o cálculo do determinante?

**Dica:** O determinante de uma matriz é uma ferramenta poderosa para verificar se ela é invertível! Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.

Considere a matriz A3x3 tal que seus elementos a_ij são definidos por: a_ij = 2i + j se i > j; a_ij = 2j - i se i < j; a_ij = 2i + 2j se i=j. Calcule o determinante dessa matriz.

Calculate the determinant of a 3x3 matrix with specific conditions for its elements. The matrix is defined by a_ij = 2i + j if i > j, a_ij = 2j - i if i < j, and a_ij = 2i + 2j if i = j. Follow the step-by-step process using Sarrus' rule, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

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Passo 1: Construção da matriz $A$

Linha 1 (i = 1):

Linha 2 (i = 2):

Linha 3 (i = 3):

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