Math Problem Statement
Hitung determinan A= 2 0 4 1 3 4 1 0 0 2 3 4 1 3 0 2
Solution
Untuk menghitung determinan matriks , kita akan menggunakan rumus determinan untuk matriks 4x4. Matriks yang diberikan adalah:
2 & 0 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ ### Langkah pertama: Ekspansi menurut baris pertama Determinannya dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor berdasarkan baris pertama: $$\text{det}(A) = 2 \cdot \text{det}(M_{11}) - 0 \cdot \text{det}(M_{12}) + 4 \cdot \text{det}(M_{13}) - 1 \cdot \text{det}(M_{14})$$ di mana $$M_{ij}$$ adalah submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Namun, karena koefisien di posisi $$(1,2)$$ adalah 0, maka kita hanya perlu menghitung determinan dari dua submatriks yang relevan: $$\text{det}(A) = 2 \cdot \text{det}(M_{11}) + 4 \cdot \text{det}(M_{13}) - 1 \cdot \text{det}(M_{14})$$ Mari kita hitung submatriks dan determinannya satu per satu. #### Submatriks $$M_{11}$$ (menghapus baris 1 dan kolom 1): $$M_{11} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Determinannya adalah: $$\text{det}(M_{11}) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 4 \cdot ((4 \times 1) - (1 \times 2)) - 1 \cdot ((3 \times 1) - (1 \times 0))$$ $$= 4 \cdot (4 - 2) - 1 \cdot (3) = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$$ #### Submatriks $$M_{13}$$ (menghapus baris 1 dan kolom 3): $$M_{13} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Determinannya adalah: $$\text{det}(M_{13}) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 3 \cdot ((3 \times 2) - (1 \times 0)) - 4 \cdot ((2 \times 2) - (1 \times 3))$$ $$= 3 \cdot (6) - 4 \cdot (4 - 3) = 18 - 4 = 14$$ #### Submatriks $$M_{14}$$ (menghapus baris 1 dan kolom 4): $$M_{14} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Determinannya adalah: $$\text{det}(M_{14}) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 3 \cdot ((3 \times 2) - (4 \times 0)) - 4 \cdot ((2 \times 2) - (4 \times 3)) + 1 \cdot ((2 \times 0) - (3 \times 3))$$ $$= 3 \cdot (6) - 4 \cdot (4 - 12) + 1 \cdot (0 - 9)$$ $$= 18 - 4 \cdot (-8) - 9 = 18 + 32 - 9 = 41$$ ### Langkah kedua: Menghitung determinan matriks $$A$$: Sekarang kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam ekspansi kofaktor: $$\text{det}(A) = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 14 - 1 \cdot 41$$ $$\text{det}(A) = 10 + 56 - 41 = 25$$ Jadi, determinan matriks $$A$$ adalah **25**. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya? ### Pertanyaan terkait: 1. Bagaimana cara cepat menghitung determinan matriks 3x3? 2. Apa perbedaan antara determinan matriks genap dan ganjil? 3. Apa yang terjadi jika determinan sebuah matriks bernilai 0? 4. Bagaimana cara menghitung invers matriks jika determinannya tidak 0? 5. Bagaimana determinan digunakan dalam aplikasi matematika seperti pemrograman linier? **Tip:** Untuk matriks besar, pertimbangkan untuk menggunakan metode eliminasi Gauss atau menggunakan perangkat lunak untuk perhitungan lebih cepat.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Determinants
Matrices
Cofactor Expansion
Formulas
det(A) = Σ (-1)^(i+j) * A[i][j] * det(M_ij)
determinant of 4x4 matrix using cofactor expansion
Theorems
Cofactor Expansion Theorem
Properties of Determinants
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
How to Solve for the Determinant of a 4x4 Matrix Using Cofactor Expansion
4x4 Matrix Determinant Using Cofactor Expansion
Find the Determinant of a 4x4 Matrix Using Cofactor Expansion
Determinant Calculation of a 4x4 Matrix Using Cofactor Expansion
Determinant of a 4x4 Matrix - Step-by-Step Cofactor Expansion