Hitung determinan   A= 2 0 4 1  3 4 1 0   0 2 3 4   1 3 0 2

Untuk menghitung determinan matriks \( A \), kita akan menggunakan rumus determinan untuk matriks 4x4. Matriks yang diberikan adalah:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 4 & 1 \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 4 & 1 \\
3 & 0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]

### Langkah pertama: Ekspansi menurut baris pertama

Determinannya dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor berdasarkan baris pertama:

\[
\text{det}(A) = 2 \cdot \text{det}(M_{11}) - 0 \cdot \text{det}(M_{12}) + 4 \cdot \text{det}(M_{13}) - 1 \cdot \text{det}(M_{14})
\]

di mana \( M_{ij} \) adalah submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.

Namun, karena koefisien di posisi \( (1,2) \) adalah 0, maka kita hanya perlu menghitung determinan dari dua submatriks yang relevan:

\[
\text{det}(A) = 2 \cdot \text{det}(M_{11}) + 4 \cdot \text{det}(M_{13}) - 1 \cdot \text{det}(M_{14})
\]

Mari kita hitung submatriks dan determinannya satu per satu.

#### Submatriks \( M_{11} \) (menghapus baris 1 dan kolom 1):

\[
M_{11} = \begin{pmatrix}
4 & 1 & 0 \\
3 & 4 & 1 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]

Determinannya adalah:

\[
\text{det}(M_{11}) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}
\]

\[
= 4 \cdot ((4 \times 1) - (1 \times 2)) - 1 \cdot ((3 \times 1) - (1 \times 0))
\]

\[
= 4 \cdot (4 - 2) - 1 \cdot (3) = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5
\]

#### Submatriks \( M_{13} \) (menghapus baris 1 dan kolom 3):

\[
M_{13} = \begin{pmatrix}
3 & 4 & 0 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\]

Determinannya adalah:

\[
\text{det}(M_{13}) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}
\]

\[
= 3 \cdot ((3 \times 2) - (1 \times 0)) - 4 \cdot ((2 \times 2) - (1 \times 3))
\]

\[
= 3 \cdot (6) - 4 \cdot (4 - 3) = 18 - 4 = 14
\]

#### Submatriks \( M_{14} \) (menghapus baris 1 dan kolom 4):

\[
M_{14} = \begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\]

Determinannya adalah:

\[
\text{det}(M_{14}) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}
\]

\[
= 3 \cdot ((3 \times 2) - (4 \times 0)) - 4 \cdot ((2 \times 2) - (4 \times 3)) + 1 \cdot ((2 \times 0) - (3 \times 3))
\]

\[
= 3 \cdot (6) - 4 \cdot (4 - 12) + 1 \cdot (0 - 9)
\]

\[
= 18 - 4 \cdot (-8) - 9 = 18 + 32 - 9 = 41
\]

### Langkah kedua: Menghitung determinan matriks \( A \):

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam ekspansi kofaktor:

\[
\text{det}(A) = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 14 - 1 \cdot 41
\]

\[
\text{det}(A) = 10 + 56 - 41 = 25
\]

Jadi, determinan matriks \( A \) adalah **25**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya?

### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara cepat menghitung determinan matriks 3x3?
2. Apa perbedaan antara determinan matriks genap dan ganjil?
3. Apa yang terjadi jika determinan sebuah matriks bernilai 0?
4. Bagaimana cara menghitung invers matriks jika determinannya tidak 0?
5. Bagaimana determinan digunakan dalam aplikasi matematika seperti pemrograman linier?

**Tip:** Untuk matriks besar, pertimbangkan untuk menggunakan metode eliminasi Gauss atau menggunakan perangkat lunak untuk perhitungan lebih cepat.

Hitung determinan A= 2 0 4 1  3 4 1 0   0 2 3 4   1 3 0 2

Learn how to compute the determinant of a 4x4 matrix using cofactor expansion. This detailed solution covers the step-by-step process for calculating the determinant of matrix A, which involves expanding along the first row and calculating the determinants of smaller submatrices. Suitable for high school students studying advanced algebra or linear algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation