内積の計算について、さらに詳しく説明します。

計算の具体例

2つのベクトル $\mathbf{a} = (2, 3)$ と $\mathbf{b} = (4, 1)$ の内積を計算します。このとき、内積は次のように求められます。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

ここで、各ベクトル成分 $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ は以下の通りです。

• $\mathbf{a} = (2, 3)$ なので、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$
• $\mathbf{b} = (4, 1)$ なので、$b_1 = 4$, $b_2 = 1$

これを内積の式に代入します。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1$

各項を計算すると、

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 8 + 3 = 11$

この結果、ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積は 11 です。

どのように計算が進むか

1. 成分ごとの積を取る: 最初に、$\mathbf{a}$ の第1成分（2）と $\mathbf{b}$ の第1成分（4）を掛け合わせます。次に、$\mathbf{a}$ の第2成分（3）と $\mathbf{b}$ の第2成分（1）を掛け合わせます。

2. 各積を合計する: それぞれの成分の積（8と3）を足し合わせて、最終的な内積を求めます。

計算の背後にある考え方

内積の計算は、ベクトル間の「相互作用」を測る方法と考えることができます。成分ごとの積を合計することで、二つのベクトルがどれだけ同じ方向に向かっているか、または逆方向に向かっているかを評価しています。

• 正の内積: 二つのベクトルが似た方向に向いている。
• 負の内積: 二つのベクトルが反対の方向に向いている。
• 内積が0: 二つのベクトルが直交している（90度の角度を成している）。

これで、内積の計算の流れと