今回の内積の計算がどうなってるのか詳しく教えて

内積の計算について、さらに詳しく説明します。

### 計算の具体例
2つのベクトル \(\mathbf{a} = (2, 3)\) と \(\mathbf{b} = (4, 1)\) の内積を計算します。このとき、内積は次のように求められます。

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
\]

ここで、各ベクトル成分 \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\), \(b_2\) は以下の通りです。

- \(\mathbf{a} = (2, 3)\) なので、\(a_1 = 2\), \(a_2 = 3\)
- \(\mathbf{b} = (4, 1)\) なので、\(b_1 = 4\), \(b_2 = 1\)

これを内積の式に代入します。

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1
\]

各項を計算すると、

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 8 + 3 = 11
\]

この結果、ベクトル \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) の内積は 11 です。

### どのように計算が進むか
1. **成分ごとの積を取る**: 最初に、\(\mathbf{a}\) の第1成分（2）と \(\mathbf{b}\) の第1成分（4）を掛け合わせます。次に、\(\mathbf{a}\) の第2成分（3）と \(\mathbf{b}\) の第2成分（1）を掛け合わせます。

2. **各積を合計する**: それぞれの成分の積（8と3）を足し合わせて、最終的な内積を求めます。

### 計算の背後にある考え方
内積の計算は、ベクトル間の「相互作用」を測る方法と考えることができます。成分ごとの積を合計することで、二つのベクトルがどれだけ同じ方向に向かっているか、または逆方向に向かっているかを評価しています。

- **正の内積**: 二つのベクトルが似た方向に向いている。
- **負の内積**: 二つのベクトルが反対の方向に向いている。
- **内積が0**: 二つのベクトルが直交している（90度の角度を成している）。

これで、内積の計算の流れと

Explore a detailed explanation of calculating dot products between vectors, illustrated with an example of two vectors (2, 3) and (4, 1). Understand the step-by-step process of component-wise multiplication and summation to find the dot product result. Learn about the geometric interpretation of dot products and their significance in vector analysis.

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