Claro, vamos a deducir la fórmula proporcionada. Observemos la ecuación:

$V_0 = \left( 1 + \frac{R_4}{R_5} \right) \frac{\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$

Esta fórmula parece provenir de un circuito eléctrico, posiblemente relacionado con un amplificador operacional con resistencias en paralelo, donde los $V_1, V_2, V_3$ representan tensiones de entrada, y $R_1, R_2, R_3, R_4, R_5$ son resistencias. Vamos a derivarla paso a paso.

Paso 1: Sumatoria de corrientes en resistencias en paralelo

En un circuito con varias tensiones ($V_1, V_2, V_3$) aplicadas a un conjunto de resistencias en paralelo ($R_1, R_2, R_3$), las corrientes individuales se suman para obtener la corriente total: $I_{\text{total}} = \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3}.$

Si estas resistencias están conectadas a un nodo común con una resistencia equivalente ($R_{\text{eq}}$): $I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{eq}}}{R_{\text{eq}}},$ donde $V_{\text{eq}}$ es el voltaje equivalente del nodo. Por tanto: $V_{\text{eq}} = R_{\text{eq}} \cdot I_{\text{total}}.$

Paso 2: Resistencia equivalente en paralelo

La resistencia equivalente de $R_1, R_2, R_3$ en paralelo está dada por: $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}.$

Invirtiendo esta ecuación: $R_{\text{eq}} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}.$

Paso 3: Voltaje equivalente del nodo

Sustituyendo $I_{\text{total}}$ y $R_{\text{eq}}$ en la expresión de $V_{\text{eq}}$, obtenemos: $V_{\text{eq}} = R_{\text{eq}} \cdot \left( \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3} \right).$

Sustituyendo $R_{\text{eq}}$ por su equivalente en términos de $R_1, R_2, R_3$, el voltaje queda: $V_{\text{eq}} = \frac{\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}.$

Paso 4: Amplificación del amplificador operacional

En el caso de un amplificador operacional con retroalimentación negativa y una configuración de ganancia no inversora, el voltaje de salida $V_0$ está relacionado con $V_{\text{eq}}$ por un factor de ganancia: $V_0 = \left( 1 + \frac{R_4}{R_5} \right) V_{\text{eq}}.$

Sustituyendo la expresión de $V_{\text{eq}}$: $V_0 = \left( 1 + \frac{R_4}{R_5} \right) \frac{\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}.$

Conclusión

La fórmula deriva de combinar:

1. Ley de Ohm para las corrientes individuales en resistencias en paralelo.
2. Cálculo de resistencia equivalente.
3. Configuración del amplificador operacional con ganancia no inversora.

Esta expresión es útil para calcular el voltaje de salida $V_0$ cuando varias tensiones de entrada están aplicadas a resistencias en paralelo con un amplificador operacional.

¿Deseas que profundice en alguno de los pasos? 😊

Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué otros circuitos utilizan resistencias en paralelo y divisores de voltaje similares?
2. ¿Cómo afecta la relación $R_4/R_5$ a la amplificación del voltaje de salida?
3. ¿Cómo se podría extender esta fórmula para $n$ resistencias y tensiones?
4. ¿Qué ocurre si una de las resistencias ($R_1, R_2, R_3$) es infinita (circuito abierto)?
5. ¿Cuál es la interpretación física de la resistencia equivalente en este contexto?

Tip:

Para simplificar análisis de circuitos, identifica siempre nodos clave y verifica las condiciones de entrada y salida del amplificador operacional.