Давайте найдем производные для всех данных функций. Я разберу каждую по порядку.

1. $y = x^3 - 8x$

Производная от $x^3$ — это $3x^2$, а от $-8x$ — это $-8$. Таким образом:

$y' = 3x^2 - 8$

2. $y = 2x^3 + 8x^3 - 5$

Объединим подобные члены: $2x^3 + 8x^3 = 10x^3$. Производная от $10x^3$ — это $30x^2$, а от константы $-5$ производная равна $0$. Таким образом:

$y' = 30x^2$

3. $y = 13x - \sqrt{x}$

Производная от $13x$ — это $13$, а от $\sqrt{x} = x^{1/2}$ — это $\frac{1}{2}x^{-1/2}$. Таким образом:

$y' = 13 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

4. $y = -x^4 + 6x^4 + 3$

Объединим члены: $-x^4 + 6x^4 = 5x^4$. Производная от $5x^4$ — это $20x^3$, а от константы $3$ производная равна $0$. Таким образом:

$y' = 20x^3$

5. $y = 3 \sin x$

Производная от $\sin x$ — это $\cos x$. Умножив на коэффициент 3, получаем:

$y' = 3 \cos x$

6. $y = \cos x + \sqrt{x}$

Производная от $\cos x$ — это $-\sin x$, а от $\sqrt{x} = x^{1/2}$ — это $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Таким образом:

$y' = -\sin x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

7. $y = -3 \tan x$

Производная от $\tan x$ — это $\sec^2 x$, умножив на коэффициент $-3$, получаем:

$y' = -3 \sec^2 x$

8. $y = (x^3 - 4)^2 + x$

Используем цепное правило для $(x^3 - 4)^2$. Производная от $(x^3 - 4)^2$ — это $2(x^3 - 4)(3x^2) = 6x^2(x^3 - 4)$, а производная от $x$ — это $1$. Таким образом:

$y' = 6x^2(x^3 - 4) + 1$

9. $y = \sqrt{x}(5x - 3)$

Для этой функции применим правило произведения. Производная от $\sqrt{x} = x^{1/2}$ — это $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, а производная от $(5x - 3)$ — это $5$. Применяя правило, получаем:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(5x - 3) + \sqrt{x} \cdot 5$

10. $y = x^3 \sin x$

Здесь тоже используем правило произведения. Производная от $x^3$ — это $3x^2$, а производная от $\sin x$ — это $\cos x$. Таким образом:

$y' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

11. $y = \frac{1}{2}(4x + 2)$

Производная от $(4x + 2)$ — это $4$, а множитель $\frac{1}{2}$ остается. Таким образом:

$y' = 2$

12. $y = 2 - 6 \cdot 3x - 8$

Преобразуем выражение: $2 - 6 \cdot 3x - 8 = -18x - 6$. Производная от $-18x$ — это $-18$, а от константы $-6$ — это $0$. Таким образом:

$y' = -18$

13. $y = 3 \sqrt{x} \cdot x^1 - 5 \cdot \cot x$

Производная от $\sqrt{x} \cdot x$ (правило произведения) и от $\cot x$ — это $-\csc^2 x$. Получаем:

$y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} \cdot x + 3\sqrt{x} - 5 (-\csc^2 x)$ $y' = \frac{3x}{2\sqrt{x}} + 3\sqrt{x} + 5\csc^2 x$

14. $y = 6x$

Производная от $6x$ — это $6$. Таким образом:

$y' = 6$

---

Хотите уточнить какой-то из этих шагов или функции?

Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как применяется правило произведения при нахождении производной?
2. В чем заключается цепное правило и когда его нужно использовать?
3. Почему производная от константы равна нулю?
4. Как вычислять производные от тригонометрических функций?
5. Какие особенности существуют при нахождении производных от корней?

Совет: Чтобы запомнить производные основных функций (например, синуса, косинуса, тангенса), полезно создать таблицу или карточки с их значениями.